二进制数01串

最新推荐文章于 2025-06-04 23:16:46 发布

MIsike

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分类专栏： ACM练习题 dp 文章标签：动态规划递归

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/domacles0124/article/details/9152169

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本文介绍了一个USACO竞赛题目“kimbits”的解决方案，该问题涉及寻找特定条件下的第I大的N位二进制数。通过使用动态规划预先计算满足条件的二进制数的数量，并采用递归方法确定每个二进制位。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二进制数01串

★ 输入文件：kimbits.in 输出文件：kimbits.out 简单对比
时间限制：1 s 内存限制：128 MB

USACO/kimbits(译 by !Starliu )

描述

考虑排好序的N(N<=31)位二进制数。

你会发现，这很有趣。因为他们是排列好的，而且包含所有可能的长度为N且含有1的个数小于等于L(L<=N)的数。

你的任务是输出第I（1<=I<=长度为N的二进制数的个数）大的，长度为N，且含有1的个数小于等于L的那个二进制数。

格式

PROGRAM NAME: kimbits

INPUT FORMAT:(file kimbits.in)

共一行，用空格分开的三个整数N，L，I。

OUTPUT FORMAT:(file kimbits.out)

共一行，输出满足条件的第I大的二进制数。

SAMPLE INPUT

(file kimbits.in)

5 3 19

SAMPLE OUTPUT

(file kimbits.out)

10011

#include <stdio.h>

int dp[33][33];

int DP(int N,int L)
{
    if(N==0||L==0)
        return 1;
    if(dp[N][L]!=0)
        return dp[N][L];
    dp[N][L]=DP(N-1,L)+DP(N-1,L-1); //dp[N][L]代表有L个1的且长度为N的二进制串的个数，它等于最高位为1(有L-1个1且长度为N-1的字符串)和最高位为0的二进制串(有L个1且长度为N-1的字符串)的个数总和.
    return dp[N][L];
}

int main()
{
    freopen("kimbits.in","r",stdin);
    freopen("kimbits.out","w",stdout);
    unsigned int N,L;
    unsigned long long I;
    int i,j,num=0;
    unsigned int t=0;

    scanf("%d%d%lld",&N,&L,&I);

    I-=1;
    /****
    第I-1大的二进制串一定有：
    最前面的1(所有1中最靠前的，位数最高的)的位数t，之前有N-t个0，且满足dp[t-1][L]<=I,而t=t+1时，有dp[t-1][L]>I。
    由于dp的单调性（对于L相同时的dp），这个t是唯一确定的。
    应用递归思想，
    我们把前面已经确定的二进制串删掉，又成了一个与原问题结构相同的子问题，只是此时，1的个数变成了L-1，字符串长度变成了t-1了，
    I变成I-dp[t-1][L]了。如此计算，直至I==dp时。
    由于题目已经说一定存在所求的字符串，所以，最终一定会出现I==dp，不会出现死循环。
    ****/
    for(t=N; t>0; t--)
    {
        if(I&&DP(t-1,L)<=I)
        {
            printf("1");
            I-=DP(t-1,L);
            L-=1;
        }
        else
            printf("0");
    }
    printf("\n");
    return 0;
}