dfs序与树链剖分

dfs序

dfs序是对于一棵树而言，我们dfs的顺序。
主要目的是用于对一棵树上的结点形成一个数组，可以用于建线段树等操作。
在dfs序中，每个节点只出现一次（欧拉序每个节点出现两次）。

比如者一棵树的dfs序为 ABCDEF

时间戳

每个节点第一次被访问的时间

dfs序的性质

父节点的时间戳小于子节点的时间戳

树链剖分

可以解决的问题

对于树上两个节点 $u,v$
1、将路径 $u$ 到 $v$ 上的点都加上一个值
2、求路径 $u$ 到 $v$ 所有点的权值和
3、将节点 $u$ 为根的子树都加上一个值
4、求节点 $u$ 为根的子树所有点的权值和

重儿子

一个节点的子节点所在的子树中节点最多的子节点为重儿子

轻儿子

除重儿子以外的所有儿子

重链剖分

以重儿子优先的dfs序，将一棵树剖分为多个重链。每个重链以轻儿子开头，其余点都是重儿子。
对于树链剖分，我们需要记录以下几个值
$dfn[x]$ dfs序
$fa[x]$ 父节点
$sz[x]$ 节点大小
$top[x]$ 所在链的首节点
$son[x]$ 重儿子
$dep[x]$ 深度

我们需要进行两次dfs，第一次求出 $faszsondep$ 的信息，第二次dfs求出 $topdfn$

求LCA

因为我们知道了每个节点的深度和所在重链的情况。所以我们可以这样考虑。
当两个点在同一条重链的时候，此时的 $lca$ 即为深度较浅的点。
当两个点不同一条重链的时候，此时让所在重链首节点较深的点往上跳，跳出它所在的这一条重链。

int LCA(int x, int y){
	while(top[x] != top[y]){
		if(dep[top[x]] > dep[top[y]]) swap(x, y);
		y = top[y];
		y = fa[y];
	}
	return dep[x] > dep[y] ? y : x;
}

性质

一个重链的dfs序是连续的

如何解决上述四个操作

操作1、2
用dfs序的时间戳建立线段树，然后我们在两个点的 $LCA$ 的过程中更新线段树即可。
操作3、4
我们直接用dfs序和节点 $x$ 的子树大小即可更新线段树，更新区间为
$$[dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1]$$