2021牛客多校第二场 B——Cannon

最新推荐文章于 2024-07-20 15:02:07 发布

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#组合数学

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本文探讨了象棋棋盘上的炮规则问题，规则一是任意下棋，规则二是限制行次。通过计算每一步操作后的可能状态数量，分别求得两种规则下f0异或...的值，涉及组合数和递推算法。

题目大意

像走象棋，棋盘有两行，很多列，第一列上有 $n$ 个炮，第二列上有 $m$ 个炮，炮的规则就和象棋一样，可以隔一个打一个。现在有两种规则，对于每一种规则你需要回答一个数。
规则一：
你可以任意地下象棋，定义 $f_i$ 表示你下 $i$ 步之后可能形成的局面
求 $f_0 \ xor \ f_1 \ xor \ … \ xor f_{n+m-4}$ 的值
规则二：
你在下象棋的时候下过第二行之后就不能下第一行了，同样求 $f_0 \ xor \ f_1 \ xor \ … \ xor f_{n+m-4}$ 的值

解题思路

我们首先将 $\ \ \ m = m-2$
在一行有 $n$ 个炮进行一步操作的局面有 $2×(n−2)2\times (n-2)$ 种，可以这样考虑有 $n - 2$ 个炮可以向右移动，有 $n - 2$ 个炮可以向左移动。
所以我们在一行有 $n$ 个炮进行 $k$ 步操作的结果有
$2k×Cnk×Akk2^k \times C^k_n \times A^k_k$

规则一

所以对于第一种操作，我们进行 $k$ 次操作可能形成的局面有
$∑i=0kCki×2i×Cni×Aii×2k−i×Cmk−i×Ak−ik−i\sum_{i=0}^k C_k^i\times2^i\times C^i_n\times A_i^i\times2^{k-i}\times C^{k-i}_m \times A_{k-i}^{k-i}$
化简一下
$2k×k!×∑i=0k×Cni×Cmk−i2^k \times k! \times \sum_{i=0}^k\times C_n^{i} \times C_m^{k-i}$
由组合数的意义，我们化简一下求和式
$2k×k!×Cn+mk2^k \times k! \times C_{n+m}^{k}$
所以我们对于规则一的答案就是
对于 $\in [0, m+n]$ 将上式相异或

规则二

进行 $k$ 此操作可以形成的局面是
$∑i=0k2i×Cni×Aii×2k−i×Cmk−i×Ak−ik−i\sum_{i=0}^k 2^i\times C^i_n\times A_i^i\times2^{k-i}\times C^{k-i}_m \times A_{k-i}^{k-i}$
化简一下
$2k∑i=0kn!(n−i)!×m!(m−k+i)!2^k \sum_{i=0}^k \frac{n!}{(n-i)!}\times\frac{m!}{(m-k+i)!}$
我们上下同时乘以 $(m + n - k)!$ 得到
$2k×n!×m!(n+m−k)!∑i=0kCn+m−kn−i2^k \times \frac{n! \times m!}{(n+m-k)!} \sum_{i=0}^k C_{n+m-k}^{n-i}$
为了后面计算方便，我们将求和式转化一下
$2k×n!×m!(n+m−k)!∑i=n−knCn+m−ki2^k \times \frac{n! \times m!}{(n+m-k)!} \sum_{i=n-k}^n C_{n+m-k}^{i}$
我们发现，求和式是一个组合数的前缀和之差
定义 $\sum_{i=0}^mC_n^i$
用如下公式来求前缀和
$S(n,m+1) = S(n,m) + C_n^{m+1}$
$S(n, m-1) = S(n, m) - C_n^m$
$S(n+1, m) = 2S(n,m) - C_n^m$
我们将求和式转化一下
$∑i=n−knCn+m−ki=∑i=0nCn+m−ki−∑i=0n−k−1Cn+m−ki\sum_{i=n-k}^n C_{n+m-k}^{i} = \sum_{i=0}^n C_{n+m-k}^{i} - \sum_{i=0}^{n-k-1} C_{n+m-k}^{i}$

我们在计算的时候开一个数组 $s 1 [k]$ 表示 $∑i=0nCn+m−ki\sum_{i=0}^n C_{n+m-k}^{i}$
显然 $s 1 [n + m] = 1$ ，我们可以这样逆向递推
$2\times s1[i] - C_{n+m-i}^n$
同时开另外一个数组 $s 2 [k]$ 表示 $∑i=0n−k−1Cn+m−ki\sum_{i=0}^{n-k-1} C_{n+m-k}^{i}$
显然 $s 2 [n - 1] = 1$ ，我们可以这样逆向递推
$2\times s2[i] + C_{n+m-i}^{n-i}$
然后我们将 $s 1$ 和 $s 2$ 作差就能得到我们想要的求和式了
至此，第二步也结束了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qc ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
#define pb push_back
using namespace std;
const int MAXN = 1e7 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 9;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int f[MAXN];
int f2[MAXN];
int finv[MAXN];
int s1[MAXN], s2[MAXN];
ll n, m;
ll C(ll n, ll m){
	if(m > n)
		return 0;
	return 1ll * f[n] * finv[n-m] % mod * finv[m] % mod;
}
void solve(){
    cin >> n >> m;
    n -= 2;
    m -= 2;
    s1[n+m] = 1;
    for(int i = n+m; i > 0; --i){
    	s1[i-1] = (2ll * s1[i] % mod  - C(n+m-i, n) + mod) % mod;
    }
    s2[n-1] = 1;
    for(int i = n-1; i > 0; --i){
    	s2[i-1] = (2ll * s2[i] % mod + C(n + m - i, n - i)) % mod;
    }
    for(int i = 0; i <= n+m; ++i)
    	s1[i] = (1ll * s1[i] - s2[i] + mod) % mod;
    ll ans1 = 0, ans2 = 0;
    for(int i = 0; i <= n+m; ++i){
    	ans1 ^= 1ll * f2[i] * f[i] % mod * C(n+m, i) % mod;
    	ans2 ^= 1ll * f2[i] * s1[i] % mod * f[n] % mod * f[m] % mod * finv[n+m-i] % mod;
    }
    cout << ans1 << " " << ans2 << endl;
}

int main()
{
	#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
       freopen("in.txt", "r", stdin);
       freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif 
    finv[1] = 1;
    finv[0] = 1;
	for(int i = 2; i < MAXN; ++i)
	    finv[i] = 1ll * (mod - mod / i ) * 1ll * finv[mod % i] % mod;
    f[0] = 1;
    for(ll i = 1; i < MAXN; i++){
    	f[i] = f[i-1] * i % mod;
    	finv[i] = 1ll * finv[i] * finv[i-1] % mod;
    }
    f2[0] = 1;
    for(ll i = 1; i < MAXN; i++)
    	f2[i] = f2[i-1] * 2ll % mod;
    // for(int i = 1; i <= 100; i++)
    // 	cout << finv[i] << " === " << qpow(f[i], mod-2) << endl;
   	qc;
    int T;
    // cin >> T;
    T = 1;
    while(T--){

        solve();
    }
	return 0;
}