AcWing 246. 区间最大公约数

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该博客介绍了如何使用差分数组和线段树数据结构来解决给定数列中区间最大公约数（GCD）查询与修改的问题。解题策略包括维护一个差分数组以简化问题，并利用gcd的性质进行区间更新和查询。代码示例展示了具体的实现细节，包括区间修改、单点查询和查询解答过程。

题目链接

题目大意

给定一个长度为N的数列A，以及M条指令（N<= 5e5, M <= 1e5），每条指令可能是一下两种之一：

“C l r d”，表示A[l], A[l+1], …, A[r]都加上d
“Q l r”，表示询问A[l], A[l+1], …, A[r]的最大公约数（GCD）
对于每个询问，输出一个整数表示答案

解题思路

两个重要的结论

gcd(x, y, z) = gcd(x, y - x, z - y)同理可以推广到任意多个数
gcd(a, b) = gcd(a, -b)
对于原序列a[i]，我们可以维护一个差分数组cfgcd, cfgcd[i] = a[i] – a[i-1]
我们对cfgcd建立一个线段树来维护这些数的gcd，我们对区间修改就变成了两次单点修改
而对答案的询问变成了
gcd(a[i], qury(l+1, r))
然后我们用一个差分+树状数组来维护对数组a的区间修改，单点查询

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qc ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
#define pb push_back
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll gcd(ll a, ll b){
	a = abs(a);
	b = abs(b);
	return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
// 用于维护区间gcd
int n, m;
ll cfgcd[MAXN];	// 差分数组
ll a[MAXN];		// 原数组
ll tree[MAXN << 2];
// 用于区间修改，单点查询， 差分+树状数组
ll cf[MAXN];	// 差分数组
ll cfsum[MAXN];	// 差分前缀和
int j;
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void add(int x, ll num){
	for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)){
		cfsum[i] += num;
	}
}
ll search(int x){
	ll ret = 0;
	while(x){
		ret += cfsum[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return ret;
}
void pushup(int rt){
	tree[rt] = gcd(tree[rt << 1], tree[rt << 1 | 1]);
}
void build(int l, int r, int rt){
	if(l == r){
		tree[rt] = cfgcd[j++];
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	build(l, m, rt << 1);
	build(m+1, r, rt << 1 | 1);
	pushup(rt);
}
void update(int L, int R, ll x, int l, int r, int rt){
	if(L <= l && r <= R){
		tree[rt] += x;
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	if(L <= m)
		update(L, R, x, l, m, rt << 1);
	if(m < R)
		update(L, R, x, m+1, r, rt << 1 | 1);
	pushup(rt);
}
ll query(int L, int R, int l, int r, int rt){
	if(L <= l && r <= R)
		return tree[rt];
	int m = (l + r) >> 1;
	ll ret = 0;
	if(L <= m)
		ret =  gcd(ret, query(L, R, l, m, rt << 1));
	if(m < R)
		ret = gcd(ret, query(L, R, m+1, r, rt << 1 | 1));
	return ret;
}
void solve(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
    	cin >> a[i];
    	cfgcd[i] = a[i] - a[i-1];
    	cf[i] = cfgcd[i];
    }
    j = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    	add(i, cf[i]);
    build(1, n, 1);
    while(m--){
    	char c;
    	cin >> c;
    	if(c == 'Q'){
    		int l, r;
    		cin >> l >> r;
    		// cout << search(l) << " " << query(l+1, r, 1, n, 1) << endl;
    		cout << gcd(search(l), query(l+1, r, 1, n, 1)) << endl;
    	}
    	else{
    		int l, r;
    		ll x;
    		cin >> l >> r >> x;
    		add(l, x);
    		add(r+1, -x);
    		update(l, l, x, 1, n, 1);
    		if(r < n)
    		update(r+1, r+1, -x, 1, n, 1);
    	}
    }
}

int main()
{
	#ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
       freopen("in.txt", "r", stdin);
       freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif

	qc;
    int T;
    // cin >> T;
    T = 1;
    while(T--){

        solve();
    }
	return 0;
}