lightoj1038(数学概率与期望)

最新推荐文章于 2019-03-05 20:30:50 发布

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本文探讨了一个数学问题，即对于给定的数字D，通过寻找其因子并使用D进行除法操作直至得到1的过程，求解这个操作的期望步骤数。通过深入分析和数学推导，本文提供了解决此类问题的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出一个数字Ｄ

我们可以选择１－Ｄ中可以被Ｄ整除的数字，然后用Ｄ出得到一个新的数字Ｄ１；

然后在找所有Ｄ１的因子，用Ｄ１除，直到得到１；

问除的次数的期望值；

思路：

d[i] 代表从ｉ除到０的期望步数；那么假设ｉ一共有ｃ个因子（包括１和本身）

d[i] = ( d[1] + d[a2] + d[a3] + d[a4] ..... + d[i] + c) / c; (加c是因为每一个期望值都会加1,因为多出一步才变成它)

把右边的d[i]移到左边就是；

( (c - 1) / c ) * d[i] = ( d[1] + d[a2] + d[a3] + d[a4] ..... + d[ac- 1] + c) / c;

那么d[i]就等于所有因子的期望和（除掉ｉ）加上ｃ再除以ｃ-１；

#include<cstdio>
#include<cstring>

const int N = 100000 + 5;
double d[N];
void init() {
	for(int i = 2; i < N; i++) {
		double sum = 0;
		int c = 0;
		for(int j = 1; j * j <= i; j++) {
			if(i % j == 0) {
				sum += d[j];
				c++;
				if(j != i / j) {
					sum += d[i / j];
					c++;
				}
			}
		}
		d[i] = (sum + c)/(c - 1);
	}
}
int main() {
	memset(d, 0, sizeof(d));
	init();
	int t;
	int cas = 1;
	scanf("%d",&t);
	while(t--) {
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: %.10lf\n",cas++,d[n]);
	}
}