[luogu4159 SCOI2009] 迷路(矩阵乘法)-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ye_xingyu/article/details/88396351

本文介绍了一种使用矩阵乘法解决边权较小的图中路径计数问题的方法。通过将节点拆分为多个子节点，将边权不为1的问题转化为边权为1的情况，再利用矩阵快速幂进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[luogu4159 SCOI2009] 迷路(矩阵乘法)

传送门

Solution

矩阵乘法新姿势qwq
我们知道当边权为1是我们可以利用矩阵快速幂来方便的求出路径数
那么对于边权很小的时候，我们可以将每个点都拆成若干个点
然后就将边权不为1转化为边权为1了

Code

//By Menteur_Hxy
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Re register 
#define Ms(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define Fo(i,a,b) for(Re int i=(a),_=(b);i<=_;i++)
#define Ro(i,a,b) for(Re int i=(b),_=(a);i>=_;i--)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

inline LL read() {
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
    while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}

const int N=11,MOD=2009;
int n,T;
char s[N];
struct Matrix{
    int da[N*10][N*10];
    Matrix() {Ms(da,0);}
    void init() {Fo(i,1,n*10)da[i][i]=1;}
    Matrix operator * (const Matrix &oth) const {
        Matrix res;
        Fo(i,1,n*10) Fo(j,1,n*10) Fo(k,1,n*10) 
            res.da[i][j]+=da[i][k]*oth.da[k][j]%MOD,res.da[i][j]%=MOD;
        return res;
    }
}mat;

Matrix Qpow(Matrix a,int b) {
    Matrix res; res.init();
    while(b) {
        if(b&1) res=res*a;
        a=a*a; b>>=1;
    }
    return res;
}

inline int id(int x,int y) {return x*n+y-n;}

int main() {
    n=read(),T=read();
    Fo(i,1,n) {
        scanf("%s",s+1);
        Fo(j,1,n) mat.da[id(9-s[j]+'0'+1,i)][id(9,j)]++;
    }
    Fo(i,1,8) Fo(j,1,n) mat.da[id(i+1,j)][id(i,j)]++;
    mat=Qpow(mat,T);
    printf("%d",mat.da[id(9,1)][id(9,n)]);
    return 0;
}