计算机视觉中的变分方法-扩散（Diffusion）

最近在看一个计算机视觉中的变分方法系列的视频，是德国慕尼黑工大出的，讲课老师是LSD-SLAM的作者Daniel Cremers，老师讲得很清楚，看了还是很有收获的。我已经变成Cremers大神的脑残粉了，有兴趣看视频的戳这里Variational Methods for Computer Vision

Diffusion equation:

扩散是一种物理过程，是让空间中的物质的浓度分布$u(x,t)$更加均匀一些。这个过程可以用两个基础的等式来描述：

1. $Fick's law$ : 空间物质的浓度的差别导致在浓度的负梯度方向上会有流$j$。 这个也很好理解，意思就是说浓度高出的物质会往浓度低处扩散：
   $$j = -g \nabla u$$
   其中， $g$是扩散系数（diffusivity），表示扩散过程的快慢
2. $continuity$ $equation$ :
   $${{\partial u} \over {\partial t}} = - div j$$
   这里，$div j =\nabla · j ={{\partial j_x} \over {\partial x}} + {{\partial j_y} \over {\partial y}}$ 称为散度。关于散度，其实在高等数学中有过介绍，通俗来讲，对于空间场中一点，如果该点散度大于$0$，则表示该点向外扩散物质（好比是该点是水龙头，向外流水）；如果该点散度等于$0$， 那就是扩散保持平衡，进多少出多少；如果散度小于$0$，那么就说明该点在吸收物质（就像黑洞一样吸收空间场中该点附近的物质）。
   关于散度的更多资料，可以参见知乎上这个回答在图像处理中，散度 div 具体的作用是什么

由上面两个基本的等式，联合起来就得到了今天要讲的扩散方程（$Diffusion$ $equation$）

$${{\partial u} \over {\partial t}} = div （g \nabla u）$$

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Example: Linear Diffusion Equation

下面以一维线性扩散方程为例来说明。
对于线性情况，