有限元模型中非节点外力的处理用C++实现

有限元建模时，在网格划分过程中会尽量在外力和外部约束作用处设置节点。因为有限元求解问题求解的刚度方程F=KD中的位移向量D和力向量F指的都是节点位移和节点力。但是，有时候模型中的外力作用位置处确实不好添加节点，此时就需要采用把有限元模型中的非节点力转化为节点力的技术，即“等效节点力”法。消去模型中的非节点力，之后才能求解刚度方程F=KD。

（1）等效节点力的原理

现有一个分布外荷载作用在杆件单元的非节点上，如下图（a）,我们想办法找出和图（a）中的力对有限元模型的作用效果相同的节点力，如下图（b）。根据图（a）中力的参数求得图（b）中节点力的参数。这样，就可以用图（b）中的节点力代替图（a）中的非节点力，称图（b）中的节点力为等效节点力。

1）等功法（形函数法）

我们可以用等功法求等效节点力。原理为：对于任意节点位移，分布荷载w(x)通过位移场v(x)所做的功，等于节点荷载fiy（剪力）和mi（弯矩）通过节点位移vi（位移）和Φi（转角）所做的功。

分布荷载所做的功为：

式中的v(x)为杆件单元的形函数。

离散节点荷载所做的功为：

令Wdiscrete=Wdistributed，即可得到fiy和mi的值，即为等效节点力。

2）查表法