PRML学习笔记-《Introduction》

Introduction

1.1 Example of Curve Fitting

1.常见术语的定义：

1.generalization: The ability to categorize correctly new examples that differ from those used for training is called generalization;
2.classification: Task in which the aim is to assign each input vector to one of a finite number of discrete categories is called classification;
3.regression: Task in which the desired output consists of one or more continuous variables is called regression;
4.unsupervised learning: 无监督学习主要分成3类：
- clustering: discover groups of similar examples within the data;
- density estimation: determine the distribution of data within the input space;
- visualization: project the data from a high-dimensional space to two or three dimensions;
5.典型的多项式拟合问题的代价函数如下所示：w的F范数只能抑制w的元素的值的幅度，但是并不能使w变得稀疏。要使w变得稀疏，应该使用零范数。

6.在5中描述的问题里面，在原本的最小二乘估计的基础上加上了F范数作为正则项，这种参数估计的方法又叫ridge regression，在神经网络当中称为weight decay，在信号处理中称为Tikhonov正则化（样本数小于参数个数，解病态方程，为了保证最小二乘估计的参数的数值稳定性，通过正则项进行对角线加载）。

2.常见结论

1.数据集越大，我们就能用越复杂的模型拟合数据；
2.下图表示ridge regression当中正则项权重$\lambda$对训练集和测试集上误差的影响

1.2Probability theory

1.概率论当中的两个基本的准则：sum rule和product rule。sum rule：边缘概率等于联合概率求和(sum out/marginalization/variable elimination)，product rule：联合概率等于先验乘上条件概率。

2.贝叶斯法则：

$$p(Y|X) = \frac{p(X|Y)p(Y)}{p(X)}$$
3.连续变量的概率密度函数$p(x)$与累计概率分布函数$P(x)$如下图所示

4.期望：随机函数$f(x)$，$x$服从$p(x)$的概率分布函数，的数学期望为：离散型x->$E[f] = \sum_xp(x)f(x)$，连续型-> $E[f] = \int p(x)f(x)dx$。注意多变量随机函数的期望以及条件期望

5.方差：随机函数$f(x)$的方差定义如下：

$$var[f] = E[(f(x) - E[f(x)])^2] = E[f(x)^2] - E[f(x)]^2$$
两个随机向量$x$和$y$的协方差矩阵为，假设默认为列向量：
$$cov[x, y] = E[(x - E[x]) \cdot (y - E[y])^T]$$

6.频率学派和贝叶斯学派观点的比较：在curve fitting例子当中，假设拟合曲线的参数为$w$， 观测的数据点为$D$，则根据贝叶斯定理，有

$$p(w|D) = \frac{p(D|w)p(w)}{p(D)}$$
也就是后验正比于先验乘似然($posterior \propto likelihood \times prior$)
在频率学派和贝叶斯学派的观点当中，似然函数$p(D|w)$都扮演着重要的角色，但是使用的方法不同。频率学派认为，参数$w$是固定的，它的值是通过估计可能的观测数据$D$的分布得到。但是在贝叶斯学派看来，只有一个观测数据集D（即我们实际观测到的），参数的不确定性是通过$w$的概率分布表示的。

7.高斯变量概率分布，单元以及多元：

8.高斯分布的参数估计：单变量高斯分布概率密度函数用均值$\mu$以及方差$\sigma^2$刻画。给定一些数据点$\{x_1, ..., x_N\}$，如果采用极大似然估计的方法，可以得到似然误差为：

最小化上式，可以得到参数的极大似然估计值为：

$$\mu_{ML} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N x_n$$
$$\sigma_{ML}^2 = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N(x_n - \mu_{ML})^2$$
值得一提的上，上述对均值$\mu$的估计是无偏的，但是对于方差的估计是有偏的，即：

接下来我们将会讲到，极大似然估计中的偏差是导致over-fitting的根本原因。

9.重温curve fitting：在前面讲到的利用多项式函数进行曲线拟合的问题当中，假设给定的数据点集为$\{x_1, ..., x_N\}$，对应的真值为$\{t_1, ..., t_N\}$，我们的做法是采用最小二乘法来最小化多项式函数$y(x_i, w)$和$t_i$之间的平方误差。现在从概率的角度来分析，假设我们的预测量$y(x. w)$和真实的$t$之间的误差服从高斯分布，也就是说

$$p(t|x, w, \beta) = \mathcal{N}(t|y(x, w), \beta^{-1})$$
其中$\beta$表示方差的倒数。则对实际观测数据集做极大似然估计得到log似然函数为：下式对参数$w$求偏导，可以知道，当我们令估计误差服从高斯分布时，极大似然估计就等价于普通最小二乘估计。

对于上式，我们也可以对参数$\beta$求导令为0，得到$\beta$的极大似然估计为：

根据上述概率模型进行预测的时候，对于每一个新的数据点$x$，上述概率模型得到的都是关于预测值$t$的概率分布$p(t|x, w_{ML}, \beta_{ML})$。
现在考虑对参数$w$的分布加上一个先验，即假设参数$w$的分布服从零均值，精度为$\alpha$的高斯分布，即$p(w|\alpha) = \mathcal{N}(0, \alpha^{-1}I)$，则根据贝叶斯法则，参数$w$的后验概率为
$$p(w|x, t, \alpha, \beta) \propto p(t|x, w, \beta)p(w|\alpha)$$
采用最大后验概率的方法(MAP)，可以得到MAP等价于下式：

可见采用MAP的估计方法就等价于在普通最小二乘的基础上加上了正则项，变成ridge regression。

1.3 Model Selection

1.cross-validation: 对于数据量比较小的情况下，交叉验证的做法是将数据分成$S$份，如下图所示：

对于每一个run，在S-1份数据上进行训练，在最后一份数据上验证，得到一个模型。最后测试的时候将S个模型的得分进行综合。

1.5 Decision Theory

1.假定对于一个输入的向量 $x$，对应一个target变量 $t$，相比于probability theory里面估计$(x, t)$的联合分布$p(x,t)$，决策理论更加关注的是给定输入的$x$，根据预测的$t$采取相应的行动。因此决策理论更加关注的是预测$p(t|x)$

2.medical diagnosis例子：给定一张输入的X光图像$x$，预测病人是否患有癌症$t$。假设$t=0$表示没有患癌症，$t=1$表示患癌症。要使预测错误的概率最小，显然我们应该选择后验概率$p(t|x)$最大的类别。

3.Minimizing the misclassification rate：
对于二分类问题：分类错误的概率为：

其中Decision region: $R_i = \{x: pred(x) = C_i\}$，上述表达式的意思为分类错误的概率等于在预测为$C_1$的区域，但是标签为$C_2$的概率加上在预测为$C_2$的区域，但是标签为$C_1$的概率。要使上述分类错误的概率最小，对于每一个输入$x$，如果$P(x, C_1) > P(x, C_2)$，即$P(C_1|x) > P(C_2|x)$，则应该把$x$放到$R_1$，否则应该把$x$放到$R_2$，这样可以使积分最小。
对于多分类问题，为了方便，我们可以求使分类正确的概率尽可能大，即

要使上述积分项最大，应该满足对于找到使$P(x, C_k)$最大的$k$，将x放到decision region $R_k$当中。

4.reject option
从第3节我们知道对于一个多分类的问题，要使分类的准确率最高，应该对于每一个样本$x$选择使得后验概率$P(C_k|x)$最大的类别$C_k$。显然当最大的后验概率都很小，或者属于各个类别的后验概率差不多大的时候，容易出现分类错误。这个时候我们可以设置一个reject threshold，即当最大的后验概率小于该阈值$\theta$时，我们不做判断。如下图所示：

5.Inference and decision
到目前为止我们处理分类问题主要有三种方法，按照从困难到简单为
1）估计输入$x$和输出$C_k$之间的联合概率分布$p(x, C_k)$，然后对于给定的$x$，normalize后验概率$p(C_k|x)$，decision stage选择后验概率最大的类别。这种模型称为generative model，因为我们可以从估计的联合概率分布中采样得到生成的数据集。
2）估计输入$x$到后验概率$P(C_k|x)$之间的映射函数，这种模型称为discriminative model
3）直接估计输入$x$到输出类别$C_k$的映射函数。比如二分类问题中，对于输入$x$，设置阈值，高于阈值为1，低于阈值为0.

6.loss function for regression
前面的decision theory，我们讨论的对象都是分类的问题，现在我们讨论回归的问题。
假设输入的变量为$x$，回归的函数为$y(x)$，$x$对应的真值为$t$，则类似分类问题，我们可以首先定义回归问题的loss function为：

$$E[L]=\int\int L(t, y(x))p(x,t)dxdt$$
其中$p(x,t)$表示输入$x$和真值$t$之间的联合分布概率密度函数，上式计算的是回归问题loss的平均值（期望）。常见的loss为均方误差，在这种情况下，平均的loss为：
$$E[L]=\int\int \{y(x) - t\}^2p(x,t)dxdt$$
我们的目标是选择$y(x)$使得目标函数$E[L]$最小，这里涉及到泛函以及变分法，即求目标函数$E[L]$对函数$y(x)$的导数。
常见的变分法公式如下所示：

应用得到导数为：

令导数等于0，得到
$$y(x)=\frac{\int tp(x,t)dt}{p(x)} = \int tp(t|x)dt=E[t|x]$$
也就是说，要使均方误差最小，要满足$y(x)=E[t|x]$, 如下图所示：

当然有的时候square loss并不是最好的，一种简单的均方误差的一般形式即为$Minkowski$ loss，如下所示：
$$E[L_q] = \int \int |y(x)-t|^q p(x,t) dx dt$$

1.6 Information Theory

参考课本《信息论与编码》
1.离散随机事件的自信息和互信息
随机事件$x_k$的自信息定义为$I(x_k) = -log_2 q(x_k)$，其中$q(x_k)$表示事件发生的概率。显然，若某个事件发生的概率越小，则该事件实际发生带来的信息量越大。如果某个事件发生的概率为1，则该事件发生带来的信息量为0.

随机事件$x_k$和$y_k$之间的互信息定义为

$$I(x_k;y_k) = log_2 \frac{p(x_k|y_k)} {q(x_k)} = -log_2 q(x_k) - \{ - log_2 p(x_k|y_k)\}$$
上式的意义为，两个随机事件$x_k$和$y_k$之间的信息量等于事件$x_k$单独发生带来的信息量减去在已知$y_k$发生的情况下$x_k$发生还能带来的信息量。互信息表示事件$y_k$所能提供关于$x_k$的信息量。互信息具有对称性，即$I(x_k;y_k) = I(y_k;x_k)$。

互信息可正可负，如果$y_k$的发生有利于$x_k$的验证，则互信息为正，否则为负，若事件$x_k$和$y_k$互不相关，则互信息为0.

2.离散随机变量的平均自信息–熵
离散随机变量$X$的熵的定义为平均自信息，即

$$H(X) = E[I(x)] = \sum q(x)I(x) = -\sum q(x) log_2 q(x)$$
显然当随机变量的概率分布为均匀分布时，随机变量的熵越大。当概率分布呈现尖峰状时，熵很小。熵描述了随机变量的不确定性。

条件熵：条件熵$H(X|Y)$描述了在已知随机变量$Y$的分布的情况下，变量$X$的不确定性，即事件的平均条件自信息。

$$H(X|Y) = E[I(x|y)] = -\sum_{x} \sum_{y} p(x, y) log_2p(x|y)$$
当随机变量$X$和$Y$统计独立时，有$H(X|Y) = H(X)$

联合熵：联合熵$H(X;Y) = E[I(x;y)] = -\sum_{x} \sum_{y} p(x,y) log_2 p(x,y)$，即事件的平均联合自信息
联合熵的满足$H(X;Y) = H(X) + H(Y|X)$，即$X,Y$的联合不确定性等于$X$的不确定性加上已知$X$分布的情况下，$Y$的不确定性。

3.离散随机变量的平均互信息
根据随机事件的互信息的定义，可以很容易推倒出随机变量之间的互信息的定义为：

$$I(X;Y) = E[I(x;y)] = \sum \sum p(x,y) log_2 \frac{p(x|y)}{q(x)}$$
互信息的性质：
1）非负性：$I(X;Y) \geqslant 0$，虽然事件的互信息可正可负，但是随机变量的互信息是非负的
2）对称性：$I(X;Y)=I(Y;X)$
3）$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$
4）$I(X;Y) \leqslant H(X)$ & $I(X;Y) \leqslant H(Y)$

4.离散概率分布的散度 –相对熵
散度定义为在同一个字符表上（即随机变量的取值范围相同）的两个概率分布之间的差异，定义为：

$$D(p // q) = \sum_{x} p(x) log_2 \frac{p(x)}{q(x)}$$
只有当$p(x)=q(x)$时，散度为0，上述散度的定义也叫做相对熵，交叉熵以及KL距离。上述散度的定义是非对称的。

5.连续随机变量的互信息
两个连续随机变量$X$和$Y$之间的互信息的定义为：

$$I(X;Y) = E_{xy}[I(x;y)] = \iint p(x,y) log_2 \frac{p(x|y)}{p(x)} dx dy$$

6.连续随机变量的熵 –微分熵
离散随机变量下定义的熵不能直接推广到连续随机变量的情况。因为按照熵的定义，连续随机变量的取值范围是无穷的，熵也是无穷大的（即使是一小段区间，也无法确定变量具体可能的取值）。
对于连续变量，微分熵（$H_C(X)$，有时也表示为$h(X)$）的定义如下：

$$H_C(X) = - \int_{-\infty}^{\infty} p(x) log_2 p(x) dx$$
微分熵并不代表事件出现的不确定性，但微分熵仍然具备很多和离散情况下熵的性质

联合微分熵

$$H_C(X;Y) = - \iint p(x,y) log_2 p(x,y) dx dy$$

条件微分熵

$$H_C(X|Y) = - \iint p(x,y) log_2 p(x|y) dx dy$$

连续随机变量互信息

$$I(X;Y)=H_C(X) - H_C(X|Y) = H_C(Y) - H_C(Y|X)$$

微分熵的极大化
1）峰值受限：当微分熵的取值范围受限于$(-M, M)$，即$\int_{-M}^{M} p(x) dx = 1$，这时微分熵满足$H_C(X) \leqslant ln2M$，当均匀分布时得到最大值
2）平均功率受限：在方差$\sigma^2$一定的条件下，当$X$服从高斯分布时，微分熵最大，即$H_C(X) \leqslant ln(\sqrt{2\pi e} \sigma)$