Inclusion Exclusion Principle

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本文介绍了组合数学中的包含排除原理，该原理用于计算有限集合的并集元素数量。文章提供了一个例子，解释了如何使用该原理来计算在特定范围内与给定数互质的整数的数量。给出了输入输出格式，并指出这是一个应用包含排除原理解决的问题。

Inclusion-Exclusion Principle

See the complete article on my own blog https://dyingdown.github.io/2019/08/15/Inclusion-Exclusion-Principle/

In combinatorics (combinatorial mathematics), the inclusion–exclusion principle is a counting technique which generalizes the familiar method of obtaining the number of elements in the union of two finite sets; – From Wikipedia

[外链图片转存失败(img-i1D8ihUF-1567835680066)(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Inclusion-exclusion.svg/220px-Inclusion-exclusion.svg.png)]

Example: Set A and B
∣ A ∪ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − ∣ A ∩ B ∣ |A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B| ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣
Set A, B and C
∣ A ∪ B ∪ C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ − ∣ A ∩ B ∣ − ∣ A ∩ C ∣ − ∣ B ∩ C ∣ + ∣ A ∩ B ∩ C ∣ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| -|A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ∣A∪B∪

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大数加法 A+B C++
yaoo_o的博客
09-15 577
原文链接 https://dyingdown.github.io/2019/09/15/String-A-B/ A+B 的问题也许是最简单的问题了。但是，如果数据过大就没法处理了除非你用Python 或者是 Java 等。C/C++ 能计算的数据的范围是 -9223372036854775808~9223372036854775807。 既然我们不能用 int 或者 long int 或者 lon...
The Inclusion-Exclusion Principle
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08-08 990
The Inclusion-Exclusion Principle The inclusion-exclusion principle is an important combinatorial way to compute the size of a set or the probability of complex events. It relates the sizes of in...
Inclusion–exclusion principle（动态规划）
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09-28 457
QUESTION： 把(2, 3, 5, 7)称为primes，能被primes整除的我们称之为Walprimes，比如 -21, -30, 0, 5, 14 是， 而-121, 1, 143 etc不是Walprimes。现在给一个由数字组成的字符串，请在数字之间用+，或-，或什么符号都不用，来组成一个表达式。判断有多少个表达式的值是Walprimes。 SOLUTION： 首先，使用...
inclusion-exclusion
07-30
容斥原理
State and prove the inclusion-exclusion principle by induction.
Conan_c
05-23 444
Proof: We set P(n)P(n)P(n) to be the number of element for the union of nnn exact sets.We make the sets to be A1,A2,A3……A1,A2,A3……A_1,A_2,A_3……, distinguished by different symbols. BASIS STEP: P(1)...
.容斥原理.
2301_80358171的博客
07-18 921
本文着重介绍了容斥原理
import networkx as nx from find_st_minimal_cutsets import find_all_minimal_cutsets from inclusion_exclusion import calculate_reliability # Mohamed Benaddy. Mohamed Wakrim # Cutset Enumerating and Network Reliability Computing by a new Recursive Algorithm and Inclusion Exclusion Principle # 创建一个简单的测试图 G = nx.Graph() G.add_edges_from([('s', '1'), ('s', '3'), ('1', '2'), ('2', '3'), ('1', '4'), ('3', '6'), ('4', '5'), ('5', '6'), ('6', '7'), ('4', '7'), ('4', 't'), ('7', 't')]) s, t = 's', 't' print("Graph edges:", list(G.edges())) print(f"Finding all minimal cuts between {s} and {t}：") min_cuts = find_all_minimal_cutsets(G, s, t) print(f"\nFound {len(min_cuts)} minimal cutsets:") for i, cut in enumerate(min_cuts): print(f"MC {i + 1}: {cut}")
最新发布
09-18
你提供的代码是一个用于计算网络中从源点 `s` 到汇点 `t` 的所有**最小割集（minimal cutsets）**，并进一步使用**容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）**来计算网络可靠性的框架。其中： - 使用了 `networkx...
import networkx as nx import sys from gamma_fun import gamma_plus_set, gamma_plus sys.setrecursionlimit(3000) # 将默认的递归深度修改为3000 def MCsAlgorithm(S, C_s, G, s, t, all_min_cuts): """ 递归枚举所有最小割集 参数: G: 原始图 S: 初始化当前只包含s的节点集合 C_s: 当前割集C_s，包含s和网络其他节点的连接边 s: 源节点 t: 目标节点 all_min_cuts: 存储所有找到的最小割集 """ # 计算 Γ+(𝑆) = Γ(S) - S gamma_plus_S = gamma_plus_set(G, S) # Γ+(𝑆)\{t}，在Γ+(𝑆)中移除目标节点t（如果存在） if t in gamma_plus_S: gamma_plus_S.remove(t) # 如果 Γ⁺(S) \ {t} ≠ ∅ if gamma_plus_S: # 对于每个外部邻居v（除了t），v∈Γ+(𝑆)\{t} for v in gamma_plus_S: # 创建不包含S集合和v的子图：G'= (V\S)\{v}，即从原图中移除S集合的所有节点和节点v nodes_to_remove = S.copy() nodes_to_remove.add(v) subgraph_nodes = set(G.nodes()) - nodes_to_remove # 检查子图是否为空或只有一个节点 if len(subgraph_nodes) == 0: # 空图被认为是连通的（根据定义1：孤立节点被视为一个分量） is_connected_subgraph = True elif len(subgraph_nodes) == 1: # 单节点图总是连通的 is_connected_subgraph = True else: # 对于有多个节点的子图，检查连通性 subgraph = G.subgraph(subgraph_nodes) # 创建不包含S集合和v的子图 is_connected_subgraph = nx.is_connected(subgraph) gamma_plus_v = gamma_plus(G, v) # 检查子图是否连通（定义1的要求） if is_connected_subgraph: # 计算新的割集 C_v # 1. 复制当前割集 C_v = set(C_s) # 2. 添加: {(v,w) ∈ E : w ∈ Γ⁺(S)} for w in gamma_plus_S: if G.has_edge(v, w): C_v.add(frozenset({v, w})) # 3. 添加: {(v,w) ∈ E : w ∈ Γ⁺(v)} for w in gamma_plus_v: C_v.add(frozenset({v, w})) # 4. 移除: {(w,v) ∈ E : w ∈ S} for w in S: if G.has_edge(w, v): edge = frozenset({w, v}) if edge in C_v: C_v.remove(edge) # 输出新的割集 if C_v not in all_min_cuts: all_min_cuts.append(C_v) print(f"Found MC: {C_v}") # 更新 S: S = S ∪ Γ⁺(v) new_S = S | gamma_plus_v MCsAlgorithm(new_S, C_v, G, s, t, all_min_cuts) def find_all_minimal_cutsets(G, s, t): """ 枚举图G中所有s-t最小割集 参数: G: 无向图 s: 源节点 t: 目标节点 返回: 最小割集的列表 """ # 初始化 S = {s} all_min_cuts = [] # 计算初始割集 C_s = {(v,w) ∈ E : v ∈ S, w ∈ Γ⁺(S)} C_s = set() for node in S: # v ∈ S neighbors = set(G.neighbors(node)) # v的邻节点集合 external_neighbors = neighbors - S # Γ⁺(S) for w in external_neighbors: # w ∈ Γ⁺(S) if G.has_edge(node, w): # (v,w) edge = frozenset({node, w}) C_s.add(edge) print(f"Initial cut C_s: {C_s}") all_min_cuts.append(C_s.copy()) # 开始递归算法 MCsAlgorithm(S, C_s, G, s, t, all_min_cuts) return all_min_cuts
09-18
> Mohamed Benaddy & Mohamed Wakrim, *"Cutset Enumerating and Network Reliability Computing by a new Recursive Algorithm and Inclusion Exclusion Principle"* 你的实现使用了集合操作和图的子图连通性判断...
Loh&Nee经典算例
05-20
2. Inclusion-Exclusion Principle（容斥原理） 3. Principle of Mathematical Induction（数学归纳法） 4. Cauchy-Schwarz Inequality（柯西-施瓦茨不等式） 5. AM-GM Inequality（算术平均数-几何平均数不等式） 6...
《离散数学》双语专业词汇表 名词术语中英文索引
weixin_34146805的博客
01-31 3382
《离散数学》双语专业词汇表 set：集合 subset：子集 element, member：成员，元素 well-defined： 良定，完全确定 brace：花括号 representation：表示 sensible： 有意义的 rational number：有理数 empty set：空集 Venn diagram：文氏图 contain(in)：包含（于） universa...
组合数学 容斥原理 学习笔记 （福利向）和Leo一起做爱数学的好孩子（未完待续...
dingwufu9301的博客
10-05 9119
算法竞赛考得很多的部分啊 这个还是很重要的 在目前的算法竞赛中有三大计数考点 1）组合计数 2）线性计数 3）群论计数 其中群论计数比较困难，我又不知道什么是线性计数，所以只能颓组合计数。 首先是最简单的东西 加法原理 若完成一件事的方法有nnn类，其中第iii类方法包含aiaiai种不同的方法， 且这些方法互不重合，则完成这件事共有a1+...
容斥原理 —— 不重不漏的计数
07-04 2219
容斥原理（Principle of inclusion-exclusion）一般应用于集合，主要对重叠部分（overlap）的处理。 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为
容斥定理（转载）
weixin_33937499的博客
12-10 1866
这篇文章发表于http://e-maxx.ru/algo/inclusion_exclusion_principle，原文是俄语的。由于文章确实很实用，而且鉴于国内俄文资料翻译的匮乏，我下决心将其翻译之。由于俄语对我来说如同乱码，而用Google直接翻译中文的话又变得面目全非，所以只能先用Google翻译成英语，再反复读，慢慢理解英语的意思，实在是弄得我头昏脑胀。因此在理解文章意思然后翻译成中文的...
Inclusion–exclusion principle
shiyuan的专栏
03-27 3931
Wiki:Inclusion–exclusion principle Statement: Example: 一个正整数序列a[1],a[2],a[3]...,a[n]，一定存在一个x,y使得a[x]+a[x+1]+..+a[y]是n的倍数。 proof:构造前n'项和S[n'],则出现两种情况：1)S[k']是n的倍数 2)S[k']对n的余数必然属于{1,2,.
Eclipse、STS 常用设置、操作 与 常用快捷键
蚩尤后裔-汪茂雄
07-07 5007
目录 Spring Eclipse 下载 设置 Java JDK 设置编码 在线安装 SVN 插件 设置 Tomcat 服务器 常用快捷键 Spring Eclipse 下载 Spring Tools 4 for Eclipse 官网下载地址：https://spring.io/tools sts4.3.0：https://download.springsource.com/re...
Sencha的Eclipse插件提示和技巧
webdev
01-15 215
原文：http://www.sencha.com/blog/sencha-eclipse-plugin-tips-tricks/ Sencha的Eclipse插件是一个完整的用于流行的Eclipse IDE的代码辅助和验证插件。有了该插件，就可以获得标准的Sencha Touch（最新的Sencha Eclipse Plugin 1.1）、Ext JS类型以及作为项目一部分定义的自定义类型的代码...
CodeForces-1180A Alex and a Rhombus
yaoo_o的博客
11-24 845
Alex and a Rhombus Problem While playing with geometric figures Alex has accidentally invented a concept of a nn-th order rhombus in a cell grid. A 11-st order rhombus is just a square 1×11×1 (i.e jus...
AtCoder-4297 Monsters Battle Royale
yaoo_o的博客
11-17 501
See the original article https://dyingdown.github.io/2019/11/17/AtCoder-4297-Monsters-Battle-Royale/ Monsters Battle Royale Problem Statement There are N monsters, numbered 1,2,…,N. Initially, the hea...
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