最大子阵和（百度2017秋招真题）

题目描述

给出一个n行m列的二维矩阵A[m,n]，其每个元素的取值范围是[-1000,1000]，其中1＜=n＜=100,1＜=m＜=100。求出p,q,r,s，满足条件1＜=p＜=q＜=n,1＜=r＜=s＜=m
且p＜=i＜=q,r＜=j＜=s的(i,j)对应的A[i,j]之和最大。
若(p,q,r,s)有多个解，输出最大子阵和即可。

输入
第一行表示测试样例的组数Te（Te＜=10）。
对于每组测试样例，其第一行包含两个数n和m，其中1＜=n＜=100,1＜=m＜=100，接下来n行，每行有m个数，表示A[i,j]中的元素，满足-1000＜=A[i,j]＜=1000。

样例输入
1
1 5
2 3 -19 1 1
输出
对每组测试数据，单独输出一行答案。
样例输出
5
时间限制C/C++语言：1000MS其它语言：3000MS
内存限制C/C++语言：65536KB其它语言：589824KB
原题参见：点击打开链接
思路分析：
这是一道动态规划题。可以参照 最大子数组和 的思路来写。假设数组为A[1…n][1…m], 设dp[n+1][m+1], 且 dp[i][j]为 A[1…i][1…j]的子矩阵的和。则有递推公式
dp[i][j]= dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + A[i][j]
对于p,q,r,s,组成的子矩阵的和， 我们有公式
sum = dp[q][s] - dp[p-1][s] - dp[q][r-1] + dp[p-1][r-1]
如下图所示：

假设求(2,2) 到(4,4)的面积， 我们有
R(2,2)(4,4) = dp[4][4] - dp[1][4] - dp[4][1] + dp[1][1]

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int T;
    cin>>T;
    int A[102][102];
    while(T--) {
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for(int i =1 ; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                cin>>A[i][j];
            }
        }
        int dp[n+1][m+1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] -dp[i-1][j-1] + A[i][j];
            }
        }

        int res = INT_MIN;
        for(int p = 1; p <= n; p++) {
            for(int q = p; q <= n; q++) {
                for(int r = 1; r <= m; r++) {
                    for(int s = r; s <= m; s++) {
                        int sum = dp[q][s] - dp[p-1][s] - dp[q][r-1] + dp[p-1][r-1];
                        res = max(res,sum);
                    }
                }
            }
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

以上算法是O(n^4)复杂度，参考 点击打开链接 ， 我们给出O(n^3)的算法如下所示

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
using namespace std;

int main() {
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int N;
    cin>>N;
    int mat[102][102];
    int dp[102][102];
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = 1; j <= N; j++) {
            cin>>mat[i][j];
        }
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = 1; j <= N; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1]  + mat[i][j];
        }
    }
    int res = 0;
    for(int p = 1; p <= N; p++) {
        for(int q = p; q <= N; q++) {
            int sum = 0;
            for(int k = 1; k <= N; k++) {
                int rect = dp[q][k] - dp[q][k-1] - dp[p-1][k] + dp[p-1][k-1];
                if(sum > 0) sum += rect;
                else sum = rect;
                if(sum > res) res = sum;
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}