小白回顾------矩阵快速幂讲解

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本文详细介绍了快速幂的基本原理及其在取模运算中的应用，并进一步探讨了矩阵快速幂的概念与实现方法，包括矩阵乘法及快速幂的模板代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Part I:首先理解一般的快速幂
为快速求a^b，我们可以采用折半的思想：
1:当b为偶数时，a^b = = a^(b/2) * a^(b/2)
2:当b为奇数时，a^b = =a * (a^(b/2)) * (a^(b/2))

代码：

int quick_mi(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)//奇数隔单,位运算更快，其实还可以写为，b%2==1
        {
            ans=ans*a;
        }
        a=a*a;//偶数折半
        b=b>>1;//位运算折半，其实还可以写为b=b/2
    }
    return ans;
}

拓展快速幂取模：
1:根据数学公式:a*b%m=(a%m)*(b%m)%m

代码：

int quick_mi(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)//奇数隔单
        {
            ans=ans*a%c;
        }
        a=a*a%c;//偶数折半
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}

Part II:矩阵快速幂
1:令MAT为一任意矩阵，求MAT^n:
2:需要定义一个结构体，去方便我们调用矩阵
代码：

struct MATI//定义一个结构体类型，可以定义矩阵
    {
        int a[2][2];//这里我们用最简单的矩阵为例
    };

3:首先我们需要构造矩阵乘法MAT*MAT
代码：

 MATI MX(MATI A,MATI B)//定义矩阵乘法
    {
    
        MATI C;
        for(int i=0;i<=2;i++)
        {
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                for(int k=0;k<2;k++)
                {
                    C.a[i][j]+=(A.a[i][k]*B.a[k][j]);
                }
            }
        }
        return C;//返回的矩阵即相乘所得
    }

4：得到矩阵乘法后，我们模仿快速幂写法即可
代码：

MATI MX_MI(MATI D,int N)
{
    MATI RE;
    memset(RE.a,0,sizeof(RE.a));
    for(int i=0; i<2; i++)
        RE.a[i][i]=1;//定义初等矩阵
    while(N)
    {

        if(N&1)
            RE=MX(RE,D);
        D=MX(D,D);
        N=N>>1;

    }
    return RE;
}

提醒：
定义矩阵时候需手动输入值，对于新定义的矩阵需要初始化

矩阵快速幂模板：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2;
ll tmp[N][N],res[N][N];
void multi(ll a[][N],ll b[][N],int n)
{
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
    for(ll i=0;i<n;i++)
    {
	   for(ll j=0;j<n;j++)
	   {
        for(ll k=0;k<n;k++)
        {
        tmp[i][j]+=(a[i][k]*b[k][j])%mod;
        }
        tmp[i][j]=tmp[i][j]%mod;
      }
   }
    for(ll i=0;i<n;i++)
        for(ll j=0;j<n;j++)
        a[i][j]=tmp[i][j];
}
void Pow(ll a[][N],ll m,int n)
{
    memset(res,0,sizeof(res));//m是幂，n是矩阵大小
    for(ll i=0;i<n;i++) res[i][i]=1;
    while(m)
    {
	    if(m&1)
        multi(res,a,n);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
        multi(a,a,n);//a=a*a
        m>>=1;
    }
}
int main()
{
     ll m;
     int n;
     ll a[N][N];
    while(~scanf("%lld",&m))
    {
         n=2;
    	a[0][0]=1,a[0][1]=1,a[1][0]=1,a[1][1]=0;
		Pow(a,m,n);
 	   printf("%lld\n",res[1][0]);
	}
   return 0;
}