算法导论 — 7.1 快速排序的描述

笔记

快速排序采用了分治的思想。对于一个数组$A[p..r]$，调用一个PARTITION过程，将它划分为两部分$A[p..q-1]$和$A[q+1..r]$，使得$A[p..q-1]$中的每一个元素都不大于$A[q]$，而$A[q+1..r]$中的每一个元素都不小于$A[q]$。并且将$A[q]$置于$A[p..q-1]$和$A[q+1..r]$的中间，这样$A[q]$就已经处于正确的排序位置上了。然后分别对$A[p..q-1]$和$A[q+1..r]$递归执行以上过程。下面的伪代码展示了这一过程。
　　
　　快速排序的关键在于PARTITION过程，如下所示。
　　
　　上述这个$\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{R}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{O}\mathrm{N}(A,p,r)$过程结束之后，数组$A[p..r]$满足：$A[p..q-1]$中的元素都小于或等于$A[q]$，$A[q+1..r]$中的元素都严格大于$A[q]$。下图展示了一个PARTITION的例子。
　　
　　PARTITION在数组$A[p..r]$上的时间复杂度为$\Theta (n)$，其中$n$为数组长度，即$n=r-p+1$。

练习

7.1-1 参照图7-1的方法，说明PARTITION在数组A = {13, 19, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 21, 2, 6, 11}上的操作过程。
　　解
　　
　　
7.1-2 当数组$A[p..r]$中的元素都相同时，PARTITION返回的$q$值是什么？修改PARTITION，使得当数组$A[p..r]$中所有元素的值都相同时，$q=\lfloor (p+r)/2\rfloor$。
　　解
　　当数组中的元素都相同时，PARTITION返回$q=r$。
　　当数组中所有元素都相同时，要使得返回$q=\lfloor (p+r)/2\rfloor$，最简单的办法是在代码中检查这种情况。如果检查到这种情况，直接返回$q=\lfloor (p+r)/2\rfloor$即可。而检查数组中所有元素是否相同，所花费的时间为$\Theta (n)$，并不会改变PARTITION的时间复杂度。

7.1-3 请简要地证明：在规模为$n$的子数组中，PARTITION的时间复杂度为$\Theta (n)$。
　　略
　　
7.1-4 如何修改QUICKSORT，使得它能够以非递增序进行排序。
　　解
　　只需要修改PARTITION过程即可。
　　
　　
　　本节code链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter07/Section_7.1