多边形面积的计算

前言

多边形面积的计算一般是将其剖分为三角形，利用海伦公式计算每个三角形的面积，然后将所有三角形的面积加起来。但是，这种方法程序实现起来比较复杂，因为无法预知多边形的形状，需要判断多边形的“凸凹”，才能避免重复计算。另外，计算边长的计算量也比较大。本文采用“鞋带公式” (Shoelace formula) 计算
，不管坐标原点怎样选取，只要顺序输入多边形每个顶点的坐标，按同样的顺序（顺时针或反时针）两两叉乘。这些叉乘的和的绝对值的一半就是该多边形面积。这个方法编程简单，计算量也比较小，优势明显。

计算公式

设O为原点，多边形由点$P_0,P_1,...,P_{n-1}$连线围成，则面积S为：
$$S=\frac{1}{2}|\sum _{i=0}^{n-1}(\overline{O{P}_i}\times \overline{O{P}_{i+1}})|,(P_n=P^{}$$