背包问题的倒序枚举与正序枚举

这可能是困扰很多人很长时间的问题吧。

先把各个变量列出来

体积为$V$的背包，有$n$个物品，每个物品的体积为$w_i$，价值为$v_i$，每个物品装一次，求最大价值

来这看的肯定都是学习过基础背包的人，如果没有可以看我另一篇博客，里面有详细解释——点这里
下面先给出二维的转移方程

$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])$

首先，对于二维数组的背包来说，正序和逆序是无所谓的，因为你把状态都保存了下来，而一维数组的背包是会覆盖之前的状态的

要想知道$f[i][j]$，你要从$f[i-1][j]$和$f[i][j-w[i]]+v[i]$两个状态转移而来，这两个状态可以直接从二维数组中取出
一维数组的转移方程

$f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i])$

$f[j]$表示在执行$i$次循环后(此时已经处理$i$个物品)，前$i$个物体放到容量$j$的背包时的最大价值，即之前的$f[i][j]$。与二维相比较，它把第一维压去了，但是二者表达的含义是相同的，只不过$f[j]$一直在重复使用，所以，也会出现第$i$次循环覆盖第$i-1$次循环的结果。

按方程来说，其中有许多对应相等的关系，比如$f[i-1][j]$和$f[j]$就是相等的，这是为什么呢？求一下这几个值就好了

1. 前$i-1$个物品放到容量$j$的背包中带来的收益（$f[i-1][j]$）
   由于在执行第$i$次循环时，$f[j]$存储的是前$i$个物体放到容量为$j$的背包时的最大价值，在求前$i$个物体放到容量$j$时的最大价值(即之前的$f[i][j]$)时，我们正在执行第$i$次循环，$f[v]$的值还是在第$i-1$次循环时存下的值，在此时取出的$f[j]$就是前$i-1$个物体放到容量$j$的背包时的最大价值，即$f[i-1][j]$。
2. 前$i-1$件物品放到容量为$j-w[i]$的背包中带来的收益（$f[i][j-w[i]]+v[i]$）
   由于在执行第$i$次循环前，$f[0...V]$中保存的是第$i-1$次循环的结果，即是前$i-1$个物体分别放到容量$0...V$时的最大价值，即$f[i-1][0...V]$，则在执行第$i$次循环前，$f$数组中$j-w[i]$的位置存储就是我们要找的前$i-1$件物品放到容量为$j-w[i]$的背包中带来的收益 (即之前的$f[i][j-w[i]]$)。

具体来说，由于在执行$j$时，是还没执行到$j-w[i]$的，因此，$f[j-w[i]]$保存的还是第$i-1$次循环的结果。即在执行第$i$次循环且背包容量为$j$时，此时的$f[j]$存储的是$f[i-1][j]$，此时$f[j-w[i]]$存储的是$f[i-1][j-w[i]]$。

相反，如果在执行第$i$次循环时，背包容量按照$0...V$的顺序遍历一遍，来检测第$i$件物品是否能放。此时在执行第$i$次循环且背包容量为$j$时，此时的$f[j]$存储的是$f[i-1][j]$，但是，此时$f[j-w[i]]$存储的是$f[i][j-w[i]]$。

因为$j>j-w[i]$，所以第$i$次循环中，执行背包容量为$j$时，容量为$j-w[i]$的背包已经计算过了，即$f[j-w[i]]$中存储的是$f[i][j-w[i]]$。它会从一开始就装入某个物品，只是为了价值最大，重复是肯定要存在的。即对于01背包，按照增序枚举背包容量是不对的。如下图

我们现在要求$i=2$时的$f[5]$：
橙色的为数组现在存储的值，这些值是$i=1$时(上一次循环)存入数组$f$的。相当于$f[i-1][j]$
而黄色的是我们要求的值，在求$f[5]$之前，$f[5]=5$，即$f[i-1][5]=5$
现在要求$i=2$时的$f[5]=f[5-2]+10=5+10=15>f[i-1][5]=5$
故$f[5]=15$；
要注意在求$f[j]$时，它引用的$f[j-w[i]]$和$f[j]$都是上一次循环的结果

我们现在要求$i=2$时的$f[5]$
橙色为数组现在存储的值，这些值是$i=2$时(本次循环)存入数组$f$的。相当于$f[i][j]$。这是由于，我们是增序遍历数组$f$的，在求$f[j]$时，$j$之前的值$(0...v-1)$都已经在第$i$次循环中求出。
黄色是我们要求的值，在求$f[5]$之前，$f[5]=5$，即$f[i-1][5]=5$
现在要求$i=2$时的$f[5]=f[5-2]+10=10+10=20>f[i-1][5]=5$，故$f[5]=20$；
其中引用的$f[3]$是$f[i][3]$而不是$f[i-1][3]$
注意一点，在求$f[j]$时，它引用的$f[j-w[i]]$是本次循环的结果，而$f[j]$是上一次循环的结果
$In$ $other$ $words$
在检测背包容量为$5$时，看物品$2$是否加入
由状态转移方程可知，我们的$f[5]$需要引用自己本身和$f[3]$
由于背包容量为$3$时，可以装入物品$2$，且收益比之前的大，所以放入背包了。
在检测$f[5]$时，肯定要加上物品$2$的收益，而$f[5]$在引用$f[3]$时，$f[3]$时已经加过一次物品$2$，
因此，在枚举背包容量时，物品$2$加入了多次。
然后我们明确三个问题

1. $j-w[i]<j$
2. 状态$f[i][j]$是由$f[i-1][j]$和$f[i][j-w[i]]$两个状态决定的
3. 对于物品$i$，我们在枚举背包容量时，只要背包容量能装下物品$i$且收益比原来的大，就会成功放入物品$i$

具体来说，枚举背包容量时，是以递增的顺序的话，由于$j-w[i]<v$,则会先计算$j-w[i]$。在背包容量为$j-w[i]$时，一旦装入了物品$i$，由于求$f[j]$需要使用$f[i-1][j-w[i]]$，而若求$f[j]$时也可以装入物品$i$的话，那么在背包容量为$v$时，容量为$j$的背包就装入可两次物品。又若$j-w[i]$是由之前的状态推出，它们也成功装入物品$i$的话，那么容量为$j$的背包就装入了多次物品$i$了。
此时，在计算$f[j]$时，已经把物品$i$能装入的全装入容量为$j$的背包了，此时装入物品$i$的次数一定是最大的
所以，顺序枚举容量是完全背包问题最简捷的解决方案。

图片来源及参考博客：
https://blog.youkuaiyun.com/c_circle/article/details/78804728
背包九讲