Softmax回归识别验证码（手写数字）

我们首先来学习softmax regression和one-hot encoding。这次本次实验需要学习和机器学习相关的两个重要概念。
我们之前学过逻辑回归。由于Logistic Regression算法复杂度低、容易实现等特点，在工业界中得到广泛使用，如计算广告中的点击率预估等。但是，Logistic Regression算法主要是用于处理二分类问题，若需要处理的是多分类问题，如手写字识别，即识别是{0，1，…，9}中的数字，此时，需要使用能够处理多分类问题的算法。Softmax Regression算法是Logistic Regression算法在多分类问题上的推广，主要用于处理多分类问题，其中，任意两个类之间是线性可分的。
我们知道，在Logistic回归中比较重要的有两个公式，一个是阶跃函数：

另一个是对应的损失函数：

最终，Logistic回归需要求出的是两个概率：

在Logistic回归需要求解的是两个概率，而在Softmax Regression中将不是两个概率，而是k个概率，k表示的是分类的个数。我们需要求出以下的概率值：

此时的损失函数为：

其中I{}是一个指示性函数，意思是大括号里的值为真时，该函数的结果为1，否则为0。下面就这几个公式做个解释：
先来看看损失函数的由来
概率函数可以表示为：

其似然函数为：

log似然为：

我们要最大化似然函数，即求max

转化成损失函数。

接着对log似然(或者是损失函数)求偏导

为了简单，我们仅取一个样本，则可简单表示为：