【408】数据结构第一轮强化笔记

数据结构第一轮强化笔记

根据天勤高分笔记所做

1 绪论

C / C++

• 函数传参

  • 普通变量引用型

    • void f(int &x)

  • 指针型变量

    • void f(int *&x)

  • 二维数组

    • void f(int x[][length], int length)

  • 总结

    • 变量需要改变则加 &（数组） / *&（指针）

数据结构（三要素）

• 逻辑结构

  • 线性结构

    • 线性表、队列、栈

  • 非线性结构

    • 集合、树、图

• 物理结构（存储结构）

  • 顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储

• 数据的运算

复杂度排序

• 1 < log2n < n < nlog2n < n^x < 2^n

算法的特性

• 有穷性、确定性、输入、输出、可行性

算法的设计目标

• 正确性、可读性、健壮性、高效率与低存储量

2 线性表

循环单链表最后一个结点的指针域指向头结点 / 开始结点（无头结点）
带头结点循环双链表无空指针

存储结构

• 顺序表

  • 支持随机访问
  • 地址空间连续

• 链表

  • 存储空间利用率较低

  • 动态分配，不支持随机访问

  • 形式

    • 单链表，双链表，循环单链表，循环双链表，静态链表

链表适合增删

顺序表适合随机访问

• 第 i 位插入新元素，移动n－i + 1个元素
• 第 i 位元素删除，移动n－i 个元素

3 栈和队列

最适合用作链队的结构是只带队尾指针的循环单链表

栈

• FILO

  • 卡特兰数：（1/（1 + n ））* C（n，2n）

• 存储结构

  • 顺序栈
  • 链栈
  • 共享栈

• 运算

  • 进栈 / 出栈
  • 栈满 / 栈空

队列

• FIFO

• 存储结构

  • 顺序队列

    • 循环队列

      • 删除元素，队首指针+1

        • Q·front=（Q·front+1）%MaxSize

      • 插入元素，队尾指针+1

      • 出队入队都按顺时针进1

      • 全满 元素：（rear-front+MaxSize）% MaxSize

      • 空位 元素：（rear-front+1+MaxSize）% MaxSize

    • 双端队列

  • 链式队列

• 运算

  • 进队 / 出队
  • 队满 / 队空

矩阵的压缩存储

• 压缩存储

  • 指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间

• 特殊矩阵

  • 对称矩阵

  • 三角矩阵

  • 对角矩阵

  • 各矩阵的下标

    对称矩阵 k=i（i-1）/2 + j - 1 【下三角和主对角线】 k=j（j-1）/2 + i - 1 【上三角】
    三角矩阵 下三角 k=i（i-1）/2 + j - 1 【下三角和主对角线】 k= n（n+1） /2 【上三角】 上三角 k=（i-1）（2n-i+2）/2 + j - 1 【上三角和主对角线】 k= n（n+1） /2 【下三角】三对角矩阵（带状矩阵） k=2i+j-3 已知下标求矩阵中的位置：i=┗(k +1)/3+1┛ j =(k -2i )+3数组下标k均从0开始

稀疏矩阵

• 三元组表示法

• 伪地址表示法

• 链式存储

  • 领接表表示法
  • 十字链表表示法

4 串

1.空格串不是空串

概念

• 主串
• 子串
• 串长

存储结构

• 字符数组

模式匹配算法

• 暴力

  • O(nm)

• KMP算法

  • O(n +m)

    • 掌握KMP算法的滑动
    • 前缀匹配，next数组

• KMP算法进一步优化

  • nextVal

5 树与二叉树

二叉树前中后序遍历中，所有叶子节点在遍历序列中的先后顺序完全相同
二叉树采用二叉链表存储，交换所有分支结点左右子树位置，利用后序遍历方法最合适
单个根结点也算作叶子结点
叶子结点数为n，度为m的哈夫曼树非叶子结点个数为【n-1/m-1】
度 = n - 1

存储结构

• 顺序存储

  • 双亲表示法

    • 数组

• 链式存储

  • 孩子表示法

    • 邻接表

  • 孩子兄弟表示法

二叉树

• 概念

  • 度为2的树和二叉树

    • 度为2的树至少有3个结点
    • 度为2的树若只有一个孩子无须确定左右次序

  • 完全二叉树

    • 除最后一层为满二叉树，最后一层结点从左到右

• 性质

  • 结点数 n = n0 + n1 + n2
  • 出度为0(叶子结点)数 n0 = n2 + 1
  • 第 i 层上至多有2^(i－1)个结点
  • 高度为h至多有(2^h－1)个结点
  • Catalan：n个结点能构成 C(n，2n) / (n+1)
  • 具有n个结点的完全二叉树高度为log2n + 1

• 存储

  • 顺序存储

    • 数组，最适合用于完全二叉树

  • 链式指针

• 操作

  • 遍历

    • 前序遍历

      • 中左右

    • 中序遍历

      • 左中右

    • 后序遍历

      • 左右中

    • 层次遍历

      • 从上到下，从左到右

  • 线索化二叉树

    • 目的：利用指针空链域，方便遍历

    • 前序线索二叉树

    • 中序线索二叉树

      • 左空指前驱，右空指后继，双指针遍历

    • 后序线索二叉树

树/森林

• 转换

  • 树->二叉树

    • 左孩子右兄弟表示法

  • 森林->二叉树

    • 先树->二叉树，再连接森林

  • 二叉树->树

    • 逆孩子兄弟表示法

  • 二叉树->森林

    • 根靠右边孩子断开

• 遍历

  • 先序遍历

    • 先根后子树

  • 后/中序遍历

    • 先子树后根

应用

• 二叉排序树

  • 平衡二叉树

    • 插入

      • 找离插入点最近的平衡因子＞1的结点
      • 四种旋转

    • 查找

      • 比较次数最多是树的深度

      • 深度为h 最少结点: nʰ=n⁽ʰ⁻¹⁾+nʰ⁻²+1

        • 非叶子结点的平衡因子均为1

• Huffman树

  • 特点：带权路径最短，n1 = 0，有同权则不唯一
  • 构造方法：每次取最小的两个结点生成新结点

• Huffman编码

  • 最短前缀码

• Huffman N叉树

  • 补充0结点个数为 ？

• 并查集

  • Union
  • Find

• 红黑树

6 图

最小生成树的结构不唯一，但图中各边权值不相等时，最小生成树唯一
最小生成树的权值之和总是唯一
最小生成树的边数等于顶点数－1
存在边权值相等的最小生成树也可能唯一，无相等边权值必唯一，有相等边权值可能唯一
DFS和拓扑排序可以检测环
各边权值都相等时可以用BFS解决单源最短路径问题（退化为跳数
回路不是简单路径
存在拓扑序列则图无回路

概念

• 简单图

  • 不存在重复边
  • 不存在顶点到自身的边

• 完全图

  • 无向完全图

    • n(n-1)/2条边

  • 有向完全图

    • n(n-1)条边

• 简单路径

  • 路径序列中顶点不重复

• 无向图

  • 连通图

    • 任意两个顶点连通

  • 连通分量

    • 非连通图中的极大连通子图

      • 包含连通子图所有的边，可能成环

  • 极小连通子图

    • 边数最少的连通子图，必无环，加一条边必成环

  • 边数小于n-1必是非连通图

• 有向图

  • 强连通图

    • 任意两顶点之间互相有路径

  • 强连通分量

    • 非强连通图中的极大强连通子图

存储结构

• 邻接矩阵

  • 顺序存储，时间复杂度：O(V²)

• 邻接表

  • 链式存储，时间复杂度: O(V+E)

  • 多重链表

    • 加个标志域，每个结点只存一次

• 十字链表

图的遍历

• 深度优先遍历 DFS

  • 先序遍历 递归

• 广度优先遍历 BFS

  • 层次遍历 队列

• 连通图直接遍历，非连通图多次遍历

图的应用

• 无向图—最小生成树

  • Prim

    • 选择当前代价最小的顶点加入
    • 时间复杂度O(V²)

  • Kruskal

    • 选择全局代价最小的顶点加入
    • 时间复杂度取决于排序算法(与边有关)，适用稀疏图
    • 并查集判断是否成环

• 有向图—最短路径

  • Dijkstra

    • 单源最短路径

      • 单个顶点到其余各顶点的最短路径

    • 每一轮加入一个路径最短的结点，类似Prim

    • 时间复杂度O(V²)

  • Floyd

    • 任意一对顶点间的最短路径
    • 动态规划，判定A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]
    • 三重循环，时间复杂度O(V³)

• AOV网

  • 顶点表示活动，边表示先后次序的有向无环图

  • 拓扑排序

    • 找入度为0的顶点输出
    • 序列不唯一

  • 逆拓扑排序

    • 找出度为0的顶点输出
    • DFS得到逆向的拓扑有序序列（优先出度0）

• AOE网

  • 顶点表示事件，边表示活动，边权表示时间的有向无环图

  • 对于一个工程而言，只有一个入度0的源点和一个出度0的汇点

  • 关键路径

    • 源点到汇点的最长路径，也是工程的最短完成时间

    • ve(k)事件k最早发生时间

      • Max

    • v()最晚开始时间

      • 终点的vl-持续时间

    • e(i)活动 i 最早开始时间

      • 等于该狐起点的ve

    • vl(k)事件k最晚发生时间

      • Min

  • 关键活动

    • 关键路径上的活动

7 查找

m阶B树叶子结点在同一层
B树和B+树都可用于文件的索引结构
B树不支持顺序查找
m阶B树是m叉平衡查找树
平衡二叉树最少结点 Nh=Nh-1+Nh-2+1
N0=0；
N1=1；
N2=2；
N3=4；
N4=7；
N5=12；
N6=20；

概念

• 记录|关键字

• 平均比较次数|平均查找长度 ASL

  • 成功
  • 失败

线性结构

• 顺序查找

  • 无序线性表

    • 成功，(n+1)/2
    • 不成功，n+1

  • 有序线性表

    • 成功，(n+1)/2
    • 不成功，n/2+n/(n+1)

• 折半查找

  • 适用于有序的顺序表

  • 判定树

    • n个非叶子结点，n+1个叶子结点（失败结点）

    • 查找成功平均查找长度近似

      • (1x1+2x2+3x2²+…+hx2⁽ʰ⁻¹⁾)/n = log2(n+1) - 1

• 分块查找|索引顺序查找

  • 线性表分成若干块，块间有序，块内无序
  • 建立索引表存储块信息及关系，先折半，再顺序查找

树形结构

• 二叉排序树 BST

  • 二叉链表，中序遍历得到非递减序列

  • 插入

    • 查找失败位置增加新节点

  • 删除

    • 叶子结点，直接删除
    • 只有左子树或右子树，删除连接
    • 找到次大于或次小于结点更换值

• 平衡二叉树 AVL

  • 平衡因子

    • 左右子树高度之差

  • 树中所有结点平衡因子≤|1|的二叉排序树

  • 插入平衡调整

    • 每次调整离插入结点最近的不平衡子树

    • LL型|RR型

      • 右单旋|左单旋

    • LR型|RL型

      • 先左后右|先右后左

  • 删除和二叉排序树类似

• 红黑树

  • 性质

    • n个结点的红黑树高度至多：2log2(n+1)
    • NIL叶子结点

  • 插入

    • 新插入结点为红色

    • 叔父红

      • 叔父涂黑，爷变红

  • 删除

• B树|多路平衡查找树

  • n个分支的结点有n-1个关键字

  • m阶结点关键字个数范围为m/2 - 1 ~ m - 1

  • 插入

    • 总是在终端结点上

  • 删除

    • 兄弟够借，父子换位
    • 兄弟不够，父子合并

• B+树

  • n个分支的结点有n个关键字
  • 非叶子结点只是索引，不含有该关键字地址信息
  • 叶子结点指针相连构成记录链表

散列结构

• 散列

  • 根据给定的关键字来计算关键字在表中地址

• 散列表

  • 散列函数

    • 直接定址法|数学分析法|平方取中法|除留余数法

  • 处理冲突的方法

    • 开放定址法

      • 线性探测

        • 容易堆积

      • 平方探测

        • 减少堆积

      • 再散列法|伪随机序列法

    • 拉链法

      • 不堆积

• 效率指标

  • 散列函数

  • 装填因子

    • 关键字个数和表长的比值

  • 处理冲突的的方法

8 排序

最佳归并树计算I/O次数需×2(读写)

概念

• 稳定性

  • 相对位置不发生改变

• 衡量标准：时间复杂度|空间复杂度

内部排序

• 插入排序|空间复杂度O(1)

  • 直接插入排序

    • 思想：每次挑选一个数插入到部分有序序列中
    • 最坏比较次数n(n－1) / 2，适用于基本有序序列

  • 折半插入排序

    • 折半查找寻找插入位置，O(n²）

  • 希尔排序

    • 思想：子序列插排逐步有序，最后直接插入排序

    • 步长选取

      • 希尔：n/2向下取整，O(n²）
      • 帕斯：2^k + 1 < n，O(n^1.5）
      • 最后一步一定是1，直接插入排序

• 交换排序

  • 冒泡排序|空间复杂度O(1)

    • 思想：每趟排序确定一个最大值/最小值
    • 最坏比较次数n(n－1) / 2，移动次数3n(n－1) / 2

  • 快速排序|空间复杂度O(log2n)

    • 思想：每次确定一个关键字界限，两边向中间交换
    • 越无序效率越高，排序趟数与初始序列相关

• 选择排序|空间复杂度O(1)

  • 简单选择排序

    • 思想：每次选择最小值/最大值加入有序序列
    • 比较次数与初始状态无关，始终是(n－1)n / 2次

  • 堆排序

    • 大根堆：L(i) ≥ L(2i) 且 L(i) ≥ L(2i+1)，完全二叉树
    • ①建堆：子树筛选，向上冒泡
      ②插入：插入到最底层最右边，向上冒泡
      ③删除：最底层最右边结点赋值，向下冒泡
      ④排序：输出堆顶，最底层最右边结点赋值，向下冒泡
    • 适用于关键字较多场景

• 归并排序|空间复杂度O(n)

  • 二路归并
  • 分治递归

• 基数排序|空间复杂度O(rd)

  • 多关键字排序，适用关键字很多但基数较少的场景

  • 最高位优先

    • 从高到低依次有序|先排后直接插入排序

  • 最低位优先

    • 从低到高依次有序

外部排序

• 思想：将内存作为工作空间来辅助外存数据排序

• 归并排序

  • 最常用

  • k路归并

    • 每k个记录分为一组

  • 子算法

    • 置换-选择排序

      • 获得初始归并段

    • 最佳归并树

      • 使归并次数最少

    • 败者树

      • 从当前k个值中挑选最值

• 置换-选择排序

  • 每次从缓冲区中选出最小的V
  • 若V＜归并段最大值，跳过继续选择
  • 缓冲区所有V都小于归并段最大值，开始下一轮
  • 所有归并段长度不一定相等

• 最佳归并树

  • 思想：归并段长度不等，构造Huffman树最小化归并次数

  • 对k路归并构造k叉Huffman树

    • (n - 1) % (k - 1) = 0，可以构成k叉树
    • (n - 1) % (k - 1) = u，说明u个多余，加k-u-1虚段

• 败者树

  • 不引入败者树每次需比较k－1次找最值，引入之后减少到log2k次

  • 叶子结点

    • 当前参与归并的归并段段首记录

    • k路归并叶子结点个数为k

      • 结点数不是偶数则每次剩余一个放下一趟比较

  • 非叶子结点

    • 二叉树，度为2，值为叶子结点序号

  • 胜者做父节点的父节点，败者做父节点

  • 调整

    • 叶子结点更新，非叶子结点向上比较

总结

• 不稳定算法

  • 希尔|快排|简单选择|堆

• 每次排序确定一个关键字位置

  • 冒泡|快排|简单选择|堆

• 关键字比较次数和原始序列无关

  • 简单选择|折半插入

• 排序趟数和原始序列有关

  • 交换排序：冒泡|快排

XMind: ZEN - Trial Version