25、停机问题与模型提升：程序与规范的深入探讨

停机问题与模型提升：程序与规范的深入探讨

1. 停机问题中的程序与规范差异

在停机问题的研究中，我们发现程序和规范之间存在着微妙而重要的差异。自引用是停机定理证明中矛盾的根源，Hehner 使用递归定义的方法使这一点变得明确。

1.1 规范函数的定义域分析

假设存在函数 (S)，由于 (H) 并非以文本形式给出，(S) 也不能如此，并且当我们要将 (S) 应用于自身时，参数 (I) 也不能是文本。最初假设 (S) 的定义域是所有规范的集合 (S)，但这会导致矛盾。

我们定义 (H_R: S \to B)，其中 (H_R(I) = true) 当且仅当 (I \in R)，(R \subseteq S)。然后 (S_R(I) = \neg ok’ \triangleleft H_R(I) \triangleright ok’) 为每个集合 (R) 定义了一个规范。对于不同的集合 (R_0) 和 (R_1)，(S_{R_0}) 和 (S_{R_1}) 是不同的。因为必然存在一个 (s \in R_0) 且 (s \notin R_1)（或者反之），所以 (S_{R_0}(s) = \neg ok’) 且 (S_{R_1}(s) = ok)。这意味着规范集合 (S_R)（它是 (S) 的子集）与 (S) 的幂集具有相同的基数，但幂集的基数总是大于其基集，这是不可能的。所以，我们必须撤回 (S) 的定义域是 (S) 的假设，而将 (S) 定义为从 (S’) 到 (S) 的函数，其中 (S’) 是 (S) 的某个子集。

接下来我们思考 (S \in S’) 是否成立。假设 (S \in S’)，那么 (S(S)) 是一个合法的规范，但这会导致前面