74、无环超图的并联合图与子集图及线约束圆盘覆盖问题研究

无环超图的并联合图与子集图及线约束圆盘覆盖问题研究

无环超图相关算法

在超图研究中，对于无环超图的并联合图和子集图的计算有着重要的算法成果。

首先，从边添加次数和时间复杂度分析来看：
- 引理 5 和引理 8 表明，每条边 $E_iE_j$ 最多被添加到图 $G$ 中两次。因此，从第 4 行到第 8 行的操作总时间复杂度为 $O(|G|)$。
- 对于分隔符 $S \in S$，设 $\overline{S}$ 表示满足 $S \subseteq S’$ 的分隔符 $S’$ 的集合。由于给定了子集图 $G_S$，可以通过确定 $G_S$ 中 $S$ 的所有入边，在 $O(|S|)$ 时间内计算出 $\overline{S}$。对于每个 $S’ \in \overline{S}$，算法在第 6 行恰好向 $E$ 中添加一条超边，并为 $S$ 添加一条额外的超边，所以 $|E| = |S| + 1$。
- 确定形成分隔符 $S’$ 的超边 $E$ 和 $E’$ 中哪个离 $S$ 更远，以及它们在树 $T$ 中 $S$ 的哪一侧的方法如下：创建 $S’$ 时，添加对两条超边的引用，并包含在 $T$ 中哪个是父超边，哪个是子超边。假设每个 $S’$ 也是 $T$ 中与 $E$ 和 $E’$ 相邻的节点。将 $T$ 的根设为任意超边，对 $T$ 进行前序和后序遍历，设 $pre(x)$ 和 $post(x)$ 分别是节点 $x$ 在相应顺序中的索引。对于 $T$ 中两个不同的节点 $x$ 和 $y$（代表分隔符或超边），$x$ 是 $y$ 的后代当且仅当 $pre(x) > pre(y)$ 且 $post(x) < post(y)$。确定将 $E$ 和 $E’$ 中的