65、罗宾逊相似矩阵的均匀嵌入与粒子组装问题研究

罗宾逊相似矩阵的均匀嵌入与粒子组装问题研究

1. 罗宾逊矩阵均匀嵌入相关理论

在处理罗宾逊矩阵时，对于均匀嵌入的研究有一系列重要的理论和算法。
- 相关推论 ：设 (A \in S_n[k]) 为罗宾逊矩阵，(d \in D_k)。若 (d) 满足特定不等式系统 (4.1)，那么对于任意 (u, v \in [n])，任意 ((u, v)) - 上界行走 (W_1) 和任意 ((u, v)) - 下界行走 (W_2)，有 (\beta^-(W_1)^{\top}d < \beta^+(W_2)^{\top}d)。
- 寻找均匀嵌入 ：给定矩阵 (A \in S_n[k])，假设存在 (d \in D_k) 满足不等式系统 (4.1)，可以找到关于该阈值向量 (d) 的均匀嵌入 (\Pi)。通过以下迭代公式计算 (\Pi : [n] \to \mathbb{R})：
- (\Pi(1) = 0)
- 对于 (2 \leq v \leq n)，(\Pi(v) = (ub_v + lb_v)/2)，其中 (ub_v) 和 (lb_v) 通过 (\Pi(1), \ldots, \Pi(v - 1)) 迭代定义：
- (ub_v = \min_{i \in [v - 1]} \left{ \Pi(i) + \min{b^{\top}d : b \in \beta^+(U_{i,v})} \right})
- (lb_v = \max_{i \in [v - 1]} \left{ \Pi(i) + \max{a^{\top}d : a \in \beta^-(L_{i,v})} \right