62、完全追溯图问题与超稳定匹配的研究

完全追溯图问题与超稳定匹配的研究

1. 完全追溯图问题

在处理完全追溯图问题时，涉及到对树结构的操作以及追溯操作的处理。当一个节点有两个子节点时，包含边 $e$ 的内部节点有 $O(\log T)$ 个，并且可以在 $O(\log T)$ 时间内找到这些节点。

接下来看如何通过更新树 $T$ 来处理追溯操作。直观上，由于每个追溯操作会改变单个边的寿命，根据引理 3，该操作可以通过更新 $O(\log T)$ 个内部节点来处理。然而，为了维护平衡二叉树，有时需要重建树的部分结构，这会增加摊销更新时间。

引理 4 指出，设 $t_{update}$ 是内部节点维护的数据结构的更新时间，每个追溯操作可以在摊销 $O(\log^2 T \cdot t_{update})$ 时间内处理。

2. 超稳定匹配问题

2.1 问题定义

超稳定匹配问题的一个实例是一个带有不完整列表和平局的无向二分图 $G = (A \cup B, E)$，其邻接表是一个线性排序的平局列表。平局是对给定顶点同样好的顶点子集。

对于图 $G$ 中的顶点关系，若顶点 $b_1$ 和 $b_2$ 是顶点 $a$ 的邻居，则存在以下三种情况：
- $a$ 严格偏好 $b_1$ 胜过 $b_2$，表示为 $b_1 \succ_a b_2$。
- $a$ 对 $b_1$ 和 $b_2$ 无差异，即 $b_1$ 和 $b_2$ 在 $a$ 的邻接表的平局中，表示为 $b_1 =_a b_2$。
- $a$ 严格偏好 $b_2$ 胜过 $b_1$。

若 $a$ 严格偏好 $b_1$ 胜过 $b_2