24、线性时间内的不完全有向完美系统发育与平面欧几里得最大匹配

线性时间内的不完全有向完美系统发育与平面欧几里得最大匹配

线性时间内的不完全有向完美系统发育问题

在解决 (N, N)-DC 问题时，有一种更高效的方法基于图 G 的分层分解 DT(G)。每个节点 v 存储 cc(v)，查询时直接返回 cc(r)。更新操作的实现有所不同，若对于叶节点 c 的某个祖先 v，cc(v) 的唯一变化是从其连通分量中移除 c，那么后续所有祖先也会有相同变化，且每个祖先的更新时间为常数。

具体的更新步骤如下：
1. 初始更新 ：停用字符 c 时，首先以 O(N) 时间朴素更新 cc(c)。
2. 遍历祖先节点 ：在 DT(G) 中遍历 c 的祖先节点。设 vi+1 是当前考虑的祖先节点，vi 是上一轮迭代考虑的祖先节点，ui 是 vi+1 的另一个子节点（vi 的兄弟节点）。设包含 c 的 Gvi 分量为 K，更新后 G′vi 的分量与 Gvi 基本相同，只是 K 可能被替换为多个分量 K1, K2, …, Kk，且 ∪kj=1Kj = K \ {c}。若 k = 1，则直接从每个 Gvj 的连通分量中移除 c 并终止更新；若 k ≥ 2，假设更新 Gvi 的分量后得到指向 K1, K2, …, Kk 的指针列表。设 L 是 c 在 Gvi+1 中的连通分量，由于子图在任何从叶到根的路径上关于包含关系是单调的，所以 K ⊆ L。目标是将 Gvi+1 转换为 G′vi+1，更新其分量，并获取分割 L 得到的分量的指针列表。
3. 构建辅助图 ：初始化 G′vi+1 为 Gvi+1，并从 L 中移除 c。使用由代表 G′vi 和 Gui