7、带预算不确定性的在线完工时间最小化算法解析

带预算不确定性的在线完工时间最小化算法解析

1. 问题定义

在处理任务调度问题时，我们会遇到各种输入序列 (J = J_1, \ldots, J_n)。每个任务 (J_i) 由一对非负实数 ((\tilde{p}_i, \Delta p_i)) 定义，其中 (\tilde{p}_i) 是任务 (J_i) 的常规处理时间，(\Delta p_i) 是其额外时间。任务 (J_i) 在最坏情况下的处理时间 (p_i = \tilde{p}_i + \Delta p_i)，被称为鲁棒时间。

调度是一个函数 (\sigma: J \to M)，它将任务 (J \in J) 映射到处理它的机器 (\sigma(J) = M \in M)。机器 (M \in M) 的常规负载 (\tilde{l} M = \sum {\sigma(J_i)=M} \tilde{p} i)，即该机器在最佳情况下处理所有任务所需的时间。在最坏情况下，我们需要考虑的额外时间是额外负载 (\Delta l_M)，它是任务中 (\Gamma) 个最大额外时间的总和（如果在机器 (M) 上调度的任务少于 (\Gamma) 个，则为所有额外时间的总和）。形式上，(\Delta l_M = \max { \sum {J_i \in J’} \Delta p_i | J’ \subseteq \sigma^{-1}(M), |J’| \leq \Gamma })。我们选择一个集合 (J’(M)) 来获得上述最大值，并通过优先选择索引较大（即较晚到达）的任务 (J_i) 来打破平局，并选择最小规模的 (J’(M))。对于每个 (J_i \in J’(M))，我们称 (J_i) 在调度 (\sigma) 中