7、利用凸多面体近似机器人可达空间

利用凸多面体近似机器人可达空间

1. 可达空间多面体枚举

可达空间多面体 $P_x$ 属于超定问题范畴，其定义如下：
$P_x = {x \in R^m | x = P\tau, A\tau \leq b }$，$\tau \in R^n$，$n \geq m$

其中，不等式约束 $A\tau \leq b$ 包含了所有机器人约束以及环境约束，矩阵 $J_kM^{-1} k\frac{t^2_h}{2}$ 成为投影矩阵 $P$。向量 $\tau$ 对应关节扭矩向量，向量 $x$ 对应 $x {k + 1} - x^*_{k + 1}$ 的差值。

为了完整定义并简化该公式，需要找到该多面体的所有顶点集合（V - 表示）或所有半空间集合（H - 表示）。多面体的顶点表示是其所有顶点 $v_i$ 的列表，常用于可视化，即 $V = {v_0, v_1, v_2, … }$；而半空间表示则定义为不等式列表 $Hx \leq d$，每个不等式对应多面体的一个面，这种矩阵不等式方程更适合涉及不同优化策略的应用。

可达空间多面体（14）是高维多面体投影到低维空间的一个特殊情况。因此，约束集 $A\tau \leq b$ 构成了 $n$ 维关节扭矩空间中多面体 $P_{\tau}$ 的 H - 表示：
$P_{\tau} = {\tau \in R^n | A\tau \leq b }$

然后，使用投影矩阵 $P$ 将该多面体投影到 $m$ 维笛卡尔空间（通常维度低得多），形成可达空间多面体 $P_x$：
$P_x = {x \in R^m | x = P\tau, \tau \in P_{\tau} }