【POJ 2505】A multiplication game 博弈 - 找规律

最新推荐文章于 2025-08-13 15:26:48 发布

y20070316

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分类专栏：博弈论文章标签： poj 游戏博弈论找规律 OI

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本文探讨了一个两人轮流用2至9乘n的游戏，目标是通过数学逻辑找到最优策略，使得玩家能够预测并控制游戏进程，以在超过预设阈值k之前获胜。分析揭示了必胜态与必败态的规律，并通过迭代计算确定了最终胜负。此游戏不仅锻炼逻辑思维，还展示了博弈论在实际问题中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

两个人轮流用2~9来乘n，使n不断扩大.
n开始为1，当给一个固定值k，谁先使n超过k谁赢.

$1<k<4294967295$

分析

设 $f_i$ 表示 $i$ 是必胜态还是必败态.
很明显 $[n,\infty)$ 是必败态.
$\therefore [\lceil {n\over 9.0}\rceil,n)$ 是必胜态.
$\therefore [\lceil {\lceil {n\over 9.0}\rceil\over 2.0}\rceil,\lceil {n\over 9.0}\rceil)$ 是必败态.
$\dots\dots$
发现 $f_i$ 的函数值具有连续性，以此类推.
当得到 $1$ 的时候就可以确定是必胜态还是必败态.

时间复杂度： $O(1)$
空间复杂度： $O(1)$

小结

博弈论的问题通常有以下的解决思路：
①找规律，探究 $f$ 函数的性质
②Nim游戏，或者 $sg$ 函数通用的ICG
③记忆化搜索或递推，Alpha-Beta剪枝

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long lint;

lint n;

int main(void)
{
    for (;~scanf("%lld",&n);)
        for (;;)
        {
            n=ceil(n/9.0);
            if (n==1)
            {
                printf("Stan wins.\n");
                break;
            }
            n=ceil(n/2.0);
            if (n==1)
            {
                printf("Ollie wins.\n");
                break;
            }
        }
    return 0;
}