匈牙利算法总结

二分图匹配算法总结

二分图是图论中的一种特殊模型，又被称为二部图。当且仅当无向图G的每一个回路的次数均是偶数时，G才是一个二分图，如果无回路相当于任一回路的次数为0，也视为二分图。二分图匹配是指子图中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称之为一个匹配。

 

最大匹配数  ：

如果一个匹配中，图的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配。

 

最小点覆盖数  ：

一个二分图的最小点覆盖数等于这个图的最大匹配数。

 

最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数  ：

 

 在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，
 且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，
 那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．

由上面可以得出：

 1.一个单独的顶点是一条路径；
 2.如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的
   顶点之间存在有向边．

最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖．

 路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；

二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配  ：

 

图中任意两个顶点都不相连的顶点的集合。

最大团个数=顶点数 - 补图最大匹配数

匈牙利算法  ：

 

用增广路求最大匹配称作匈牙利算法 ：

 

算法核心是找增广路径的dfs，对每个可以与u匹配的顶点v，假如他未被匹配，可以直接用u与v匹配，如果v已经与顶点w匹配，只需调用dfs（w）判断w是否可以与其他顶点匹配，如果能的话，仍可以使v和u匹配，如果不能检查u的下一个邻接点，在dfs过程中，要标记访问过得顶点，防止死循环计算，每次dfs前，所有顶点都是未被标记的。最后对每个顶点调用dfs,如果不返回零，最大匹配数就加一，一个循环求出最大匹配数。