[学习笔记]省选算法·数论·BSGS算法

一、开头

（浙江省神犇协会）
神犇1号：ZJOI 2018的题大家都AK了吗？
全体神犇：AK了！
神犇1号：7号神犇，你认识那个弱弱的xyz32768吗？
神犇7号：是的，我认识！我现在就去D他！
（X省Y市）
神犇7号：告诉你，ZJ的神犇协会从此有一个规矩：第1天，协会派我，也就是7号神犇来D人，第2天，协会就派49号神犇来D人，第3天，就派343号神犇来D人，以此类推。我们这里的神犇人数为$10^9+6$，所以，如果是第$n$天，
就派$7^n\mod(10^9+7)$号神犇来D人。
我们这里最巨的神犇是$168812736$号，就考考你：最少在第几天，这号神犇会来D你？
xyz32768：难道，一个一个枚举$n$？
神犇7号：如果想不出来的话，我马上去叫168812736号神犇出来！
xyz32768：我还真的不会什么高端的数论算法。
神犇7号：168812736号神犇，在浙江吗？我又D了一个弱鸡！
神犇168812736号：切，BSGS这么水的算法，我们协会里每一个人都会，就你不会，辣鸡！
xyz32768：BSGS？北上广深？拔山盖世？
神犇7号&神犇168812736号：哈，菜！

二、引入

开头中ZJ神犇7号提出的问题就是一个经典模型：
给定$A,B,C$（$C$是质数），求满足

$$A^x\equiv B(\mod C)$$
的最小正整数$x$。
如果暴力求解的话，复杂度是$O(C)$的，不足以通过神犇7号给出的$10^9+7$的模数。而BSGS算法可以实现$O(\sqrt C)$的复杂度。
BSGS（Baby Step Giant Step），即先小步后大步。
根据费马小定理，有$A^{C-1}\equiv1(\mod C)$。所以，$A^x$的值满足周期性变化，且存在一个周期为$x\in[1,C)$。

三、预备知识

• 哈希表
• 逆元

四、算法流程

（1）先取$S=\lceil\sqrt C\rceil$。
（2）把$A$，$A^2$，$A^3$，$A^4$，…，$A^S$模$C$的值存入哈希表。
（3）按顺序$i$从$0$到$S-1$，考虑是否存在$j$使得$A^{i\times S+j}\equiv B(\mod C)$。
上式中$1\leq j\leq S$。把$A^{i\times S+j}$拆解成$A^{i\times S}\times A^j$。
将式子移项：

$$A^j\equiv B\times(A^{i\times S})^{-1}(\mod C)$$
其中 $^{-1}$是乘法逆元。
这时候可以先算出 $B\times(A^{i\times S})^{-1}\mod C$的值，
然后在哈希表中查询是否有这个值，如果存在合法的，最小的 $j$，
则答案$x=i\times S+j$。

五、扩展BSGS算法

如果$C$不是质数，那么$A^{i\times S}$可能不存在逆元。
这时候就需要转化，使得逆元存在。
蒟蒻xyz32768不会，只好放网址了：
http://blog.youkuaiyun.com/zzkksunboy/article/details/73162229

六、模板

int BSGS() {
    int i, x = 1; for (i = 1; i <= S; ++i) {
        x = 1ll * x * A % C; if (!ha[x]) ha[x] = i;
    }
    int dalao = qpow(x, C - 2, C), tmp = B;
    for (i = 0; i < S; ++i) {
        if (ha[tmp]) {
            int res = i * S + ha[tmp]; ha.clear(); return res;
        } 
        tmp = 1ll * tmp * dalao % C;
    }
    ha.clear(); return -1;
}