[BZOJ1855][Scoi2010]股票交易（DP+单调队列优化）

最新推荐文章于 2022-05-27 00:35:42 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签： DP 单调队列

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本文介绍了一种基于动态规划的股票交易策略算法，通过优化状态转移方程来提高计算效率，利用单调队列维护最大值，实现了O(T×MaxP)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $f[i][j]$ 表示到了第 $i$ 天，手里有 $j$ 张股票，赚到最多的钱。
如果第 $i$ 天不进行交易，则 $f[i][j]$ 可以从 $f[i-1][j]$ 转移。即：

f [i] [j] = f [i - 1] [j]

$f[i][j]=f[i-1][j]$
如果第

ii $i$ 天进行交易，则

f [i] [j]

$f[i][j]$ 可以从

f[max(0,i−W−1)][...]f[max(0,i−W−1)][...] $f[\max(0,i-W-1)][...]$ 转移。
（下面设

p=max(0,i−W−1)p=max(0,i−W−1) $p=\max(0,i-W-1)$ ）
设存在非负整数

k,hk,h $k,h$ 满足

k>hk>h $k>h$ ，
判断

h×BPi−k×APih×BPi−k×APi $h\times BP_i-k\times AP_i$ 和

−(k−h)×APi−(k−h)×APi $-(k-h)\times AP_i$ 的大小关系。
把右边拆开得到

h×APi−k×APih×APi−k×APi $h\times AP_i-k\times AP_i$ ，由于

APi≥BPiAPi≥BPi $AP_i\geq BP_i$ 且

h>0h>0 $h>0$ ，
因此

−(k−h)×APi≥h×BPi−k×APi−(k−h)×APi≥h×BPi−k×APi $-(k-h)\times AP_i\geq h\times BP_i-k\times AP_i$ 。

k<hk<h $k<h$ 时同理。因此得出：在最优情况下，一天要么不进行交易，要么只买入，要么只卖出。
所以得出第

ii $i$ 天进行交易时的转移：

f [i] [j] = max (f [i] [j], max_{j - A S_{i} \leq k < j} {f [p] [k] - (j - k) \times A P_{i}})

$f[i][j]=\max(f[i][j],\max_{j-AS_i\leq k<j}\{f[p][k]-(j-k)\times AP_i\})$

f [i] [j] = max (f [i] [j], max j < k \leq B S i + j {f [p] [k] + (k - j) \times B P i})

$f[i][j]=\max(f[i][j],\max_{j<k\leq BS_i+j}\{f[p][k]+(k-j)\times BP_i\})$
将等号右边

maxmax $\max$ 里的式子拆开，得到：

max j - A S i \leq k < j {f [p] [k] + k \times A P i} - j \times A P i

$\max_{j-AS_i\leq k<j}\{f[p][k]+k\times AP_i\}-j\times AP_i$

max j < k \leq B S i + j {f [p] [k] + k \times B P i} - j \times B P i

$\max_{j<k\leq BS_i+j}\{f[p][k]+k\times BP_i\}-j\times BP_i$
复杂度

O(T×MaxP2)O(T×MaxP2) $O(T\times MaxP^2)$
考虑到

j−ASij−ASi $j-AS_i$ 和

BSi+jBSi+j $BS_i+j$ 随

jj $j$ 单调递增，
因此可以用单调队列分别维护

f [p] [k] + k \times A P_{i}

$f[p][k]+k\times AP_i$ 和

f[p][k]+k×BPif[p][k]+k×BPi $f[p][k]+k\times BP_i$ 的最大值。复杂度

O(T×MaxP)O(T×MaxP) $O(T\times MaxP)$ 。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 2005, INF = 0x3f3f3f3f;
int T, maxP, W, AP[N], BP[N], AS[N], BS[N], f[N][N], He, Ta, Q[N];
bool ex[N][N];
int main() {
    int i, j; T = read(); maxP = read(); W = read();
    for (i = 1; i <= T; i++) AP[i] = read(), BP[i] = read(),
        AS[i] = read(), BS[i] = read(); ex[0][0] = 1;
    for (i = 1; i <= T; i++) {
        for (j = 0; j <= maxP; j++) f[i][j] = -INF;
        for (j = 0; j <= maxP; j++) if (ex[i - 1][j])
            f[i][j] = f[i - 1][j], ex[i][j] = 1; int p = max(0, i - W - 1);
        He = Ta = 0; for (j = 0; j <= maxP; j++) {
            while (He < Ta && j - Q[He + 1] > AS[i]) He++;
            if (He != Ta) f[i][j] = max(f[i][j], f[p][Q[He + 1]]
                - (j - Q[He + 1]) * AP[i]), ex[i][j] = 1;
            if (ex[p][j]) {
                while (He < Ta && f[p][Q[Ta]] + Q[Ta] * AP[i] <
                    f[p][j] + j * AP[i]) Ta--; Q[++Ta] = j;
            }
        }
        He = Ta = 0; for (j = maxP; j >= 0; j--) {
            while (He < Ta && Q[He + 1] - j > BS[i]) He++;
            if (He != Ta) f[i][j] = max(f[i][j], f[p][Q[He + 1]]
                + (Q[He + 1] - j) * BP[i]), ex[i][j] = 1;
            if (ex[p][j]) {
                while (He < Ta && f[p][Q[Ta]] + Q[Ta] * BP[i] <
                    f[p][j] + j * BP[i]) Ta--; Q[++Ta] = j;
            }
        }
    }
    int ans = -INF; for (i = 0; i <= maxP; i++)
        if (ex[T][i]) ans = max(ans, f[T][i]); cout << ans << endl;
    return 0;
}