准备【破环成链】、【差分】

最新推荐文章于 2025-06-13 15:02:56 发布

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本文探讨了一个关于环形序列的算法问题，目标是通过旋转序列来最小化特定条件下的序列值与标号之差绝对值总和。文章分析了问题的特性，提出了一种高效解决方案，利用树状数组进行预处理，最终实现O(n)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【一句话题意】有一个环形的序列标号从1到n，每个元素有一个随机值ai，现在允许环形序列每个点同时顺时针转x圈，求使 $Σi=1n∣ai−i∣\Sigma^n_{i=1} |ai-i|$ 最小的方案，输出最小值。
n<=1e6

【分析】由于元素是随机的，但是标号十分有规律的，所以我们转而考虑固定序列，旋转标号。
显然当标号i大于ai时，右移i，那么ai会对答案做减一的贡献；
当标号i小于等于ai但不等于1时，右移i，那么ai会对答案做加一的贡献；
当i等于1时，右移标号会从1突然变成n，暴力特判即可。
显然定义一个数组为“当i点为1，右移时答案的差值（不考虑标号为1的点）”，预处理每个点，对一个区间同时加一，再对一个区间做减一操作，再单点询问。显然树状数组O(nlogn)可过。

然而，破环成链之后直接差分再O（n）统计，可以把复杂度降到O(n)。。。。
那我考场上在 ** 做什么

【code】
考场上用树状数组AC的程序

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=2e6+1000;
LL n,a[maxn];
inline void read(LL &x){
	x=0;char tmp=getchar();
	while(tmp<'0'||tmp>'9') tmp=getchar();
	while(tmp>='0'&&tmp<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+tmp-'0',tmp=getchar();
}
struct szsz{
	int c[maxn];
	int lowbit(int x){return x&-x;}
	void add(int l,int r){while(l<=n) c[l]++,l+=lowbit(l);r++;while(r<=n) c[r]--,r+=lowbit(r);}
	int ask(int num){int ret=0;while(num>0) ret+=c[num],num-=lowbit(num);return ret;}
}t1,t2;
int g(int x){
	while(x<1)x+=n;
	while(x>n)x-=n;
	return x;
}
int main(){
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=g(i-a[i]+1),r=g(i-1);
		if(a[i]>1){
			if(l<=r) t1.add(l,r);
			else t1.add(l,n),t1.add(1,r);
		}
		if(a[i]<n){
			l=g(i+1),r=g(i-a[i]);
			if(l<=r) t2.add(l,r);
			else t2.add(l,n),t2.add(1,r);
		}
	}
	LL ans=1LL<<60,res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		res+=abs(a[i]-1LL*i);
	ans=res;
	for(int i=1;i<n;i++){
		res+=t1.ask(i),res-=t2.ask(i);
		res=res-abs(a[i]-1)+abs(a[i]-n);
		ans=min(ans,res);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}