11. 函数极限

1.函数极限简介

2.函数极限性质

3.函数在无穷处的极限

4.单边极限

5.夹挤定理

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1.函数极限简介

a.函数的极限描述的是: 当自变量x无限接近某个特定值a(或者趋向无穷大)时, 函数值f(x)会稳定地、无限地接近一个什么

样的确定值L

b.函数极限关心的是x在逼近过程中f(x)的趋势, 而不一定关心在x精确等于a时, 函数值f(a)是多少

c.一个简单的比喻:

你走向一扇门, 当你离门的距离x无限接近于0时, 你的鼻子离门的距离f(x)也无限接近于0; 这个"0"就是当你x -> 0(距离门

无限近)时, 鼻子距离的极限; 至于你的鼻子真的碰到门(x = 0)时是什么感觉, 极限不关心

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2.函数极限性质

前提: lim f(x) 和 lim g(x) 都存在

a.加减法则

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = A ± B

b.数乘法则

lim [c * f(x)] = c * lim f(x) = c * A （c 为常数）

c.乘法法则

lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x) = A * B

d.除法法则

lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) = A / B （前提：B ≠ 0）

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3.函数在无穷处的极限

函数在无穷远处的极限, 即当自变量x趋近于正无穷或负无穷的时候, 函数的趋势

a.x -> +∞(x趋向正无穷)

如果存在一个实数L, 使得当x足够大时, f(x)可以无限接近L, 那么我们就说:

当x趋向于正无穷时, f(x)的极限是L

记作: limₓ→+∞ f(x) = L

b.x -> -∞(x趋向负无穷)

如果存在一个实数L, 使得当x足够小(负的足够大)时, f(x)可以无限接近L, 那么我们就说:

当x趋向于负无穷时, f(x)的极限是 L

记作: limₓ→-∞ f(x) = L

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4.单边极限

a.左极限

- 定义: 当x从a的左侧(即小于a的一侧)趋近于a时, 函数 f(x) 的极限

- 记法: limₓ→ₐ⁻ f(x) = L

- 那个小小的"-"号就表示从左侧接近

b.右极限

- 定义: 当x从a的右侧(即大于 a 的一侧)趋近于a时, 函数f(x)的极限

- 记法: limₓ→ₐ⁺ f(x) = L

- 那个小小的"+" 号就表示从右侧接近

1).定理: 函数f(x)在 x = a 处的双边极限存在的充分必要条件是：

a.左极限存在: limₓ→ₐ⁻ f(x) = L

b.右极限存在: limₓ→ₐ⁺ f(x) = L

c.并且两者相等: L = L

用公式表示就是:

limₓ→ₐ f(x) = L当且仅当limₓ→ₐ⁻ f(x) = limₓ→ₐ⁺ f(x) = L

2).重要推论

a.如果左右极限不相等, 那么双边极限不存在

b.如果左右极限中有一个不存在, 那么双边极限不存在

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5.夹挤定理

如果存在三个函数f(x), g(x), h(x)在点a附近, 但不包含a点本身, 满足:

a.不等式条件: g(x) <= f(x) <= h(x), 这意味着函数f(x)始终被夹在g(x)和h(x)之间

b.极限条件: limₓ→ₐ g(x) = L 且 limₓ→ₐ h(x) = L, 意味着x趋近于a时, 上下函数都

趋近于同一个极限值L

那么我们可以得出结论:

limₓ→ₐ f(x) = L

被夹在中间的函数f(x)的极限也必然是这个相同的值L