调和级数之和

http://patmusing.blog.163.com/blog/static/135834960201132073659862/

（1） 什么是调和级数？
形如

 

的级数称为调和级数(还可以推广到等差数列的倒数之和)。它是P-级数(自然数数列的整数p次幂的倒数之和)的特例。

（2）Euler(欧拉)在1734年，利用Newton在<流数法>一书中写到的结果：

得到：

于是：

代入x=1,2,...,n，就给出：

......

相加，就得到：

当n趋于无穷大时，γ(n)收敛为常数，记成γ.
欧拉当时近似地计算得到0.577218,1761年又计算到第16位。

1790年，意大利数学家马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并进一步计算之。其部分数值：0.57721566490153286060651209....
这个数一般称作欧拉常数，目前没有公认的成果判定该数是否为无理数。

（3）中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：

显然后者为无数个1/2的和，是发散的。
可以证明当p>1时，p-级数却是收敛的。