浮点数的表示及相关知识详解_二进制小数的权重-优快云博客

二进制小数：点左边的位的权是2的正幂，点右边的位的权是2的负幂。刚好小于1的数，如0.111111将用简单的表达法1.0-ε来表示这样的数值。

IEEE浮点数：定点表示法不能很有效地表示非常大的数字

符号S决定这个数是负数（S=l）还是正数（S=0）,对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。
尾数（significand） M是一个二进制小数，它的范围是1 ~ 2-ε,或者是0〜1-ε
阶码E 的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂(可能是负数)。

特殊浮点数：

当exp的位模式既不全为0 （数值0）,也不全为1 （单精度数值为255,双精度数值为2047)时，阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数。阶码的值是E = e-Bias,其中e是无符号数，而Bias是一个等于（单精度是127，双精度是1023)的偏置值。指数的取值范围，对于单精度是-126~ +127，而对于双精度是-1022 ~ +1023。

对小数字段frac的解释为描述小数值f，其中0≤f<1,其二进制小数点在最高有效位的左边。尾数定义为M=1+f。有时，这种方式也叫做隐含的以1开头。

当阶码域为全0时，所表示的数就是非规格化形式，而尾数的值是也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。

作用：

1、提供了一种表示数值0的方法，+0.0的浮点表示的位模式为全0，根据IEEE的浮点格式，认为值+0.0和-0.0在某些方面是不同的，而在其他方面是相同的。

2、表示那些非常接近于0.0的数。称为渐溢出，数值分布均匀地接近于0.0。

当指阶码全为1的时候出现的。当小数域全为0时，得到的值表示无穷，无穷能够表示溢出的结果。

当小数域为非零时，结果值被称为“NaN”,就是“不是一个数"(Not a Number)的缩写，在某些应用中，表示未初始化的数据时，它们也很有用处。

舍入：表示方法限制了浮点数的范围和精度，浮点运算只能近似地表示实数运算。因此,对于值x,我们一般想用一种系统的方法，能够找到“最接近的”匹配值x。

IEEE浮点格式定义了四种不同的舍入方式。默认的方法是找到最接近的匹配，而其他三种可用于计算上界和下界。

向偶数舍入在大多数现实情况中避免统计偏差。在50%的时间里，它将向上舍入，而在 50%的时间里，它将向下舍入。不想舍入到整数时，也可以使用向偶数舍入，我们只是简单地考虑最低有效数字是奇数还是偶数。向偶数舍入法能够运用于二进制小数，我们将最低有效位的值0认为是偶数。

浮点运算：IEEE标准中指定浮点运算行为方法的一个优势在于，它可以独立于任何具体的硬件或者软件实现。当参数中有一个是特殊值（如-0、或NaN等）时，IEEE标准定义了一些使之更合理的规则。例如，定义 1/-0将产生-∞,而定义1/+0会产生+∞。

表达式（3.14+lel0）-lel0求值得到0.

表达式3.14+（lel0-lel0）得到值3.14

+ ∞ -∞=NaN

NaN+x = NaN

浮点加法不具有结合性

例如，假设一个编译器给定了如下代码片段：

x = a + b + c; .

y = b + c + d;

编译器可能试图产生下列代码来省去一个浮点加法：

t = b + c;

x = a + t;

y = t + d;

对于x来说，这个计算可能会产生与原始值不同的值，因为它使用了加法运算的不同的结合方式。在大多数应用中，这种差异小得无关紧要。编译器倾向于保守，避免任何对功能产生影响的优化,即使是很轻微的影响。

另一方面，浮点加法满足了单调性属性:如果a≥b,那么对于任何a、b以及x的值，除了NaN,都有x+a≥x+ b。无符号或补码加法不具有这个实数(和整数)加法的属性。

对于任何a、b和c，并且a、b和c都不等于NaN,浮点乘法满足下列单调性:

C语言中的浮点数：所有的C语言版本提供了两种不同的浮点数据类型：float和double。在支持IEEE浮点格式的机器上，这些数据类型就对应于单精度和双精度浮点，使用向偶数舍入的方式。较新版本的c语言，包括ISO C99,包含第三种浮点数据类型long doubleo对于许多机器和编译器来说，这种数据类型等价于double数据类型。不过对于Intel兼容机来说，GCC用 80位“扩展精度”格式来实现这种数据类型，提供了比标准64位格式大得多的取值范围和精度。

C语言标准不要求机器使用IEEE浮点，所以没有标准的方法来改变舍入方式或者得到诸如-0、+ ∞、或者NaN之类的特殊值。

大多数系统提供include （・h，）文件和读取这些特征的过程库，但是细节因为系统不同而不同。

类型转换：

从int转换成float,数字不会溢出，但是可能被舍入。
从int或float转换成double,因为double有更大的范围（也就是可表示值的范围），也有更高的精度（也就是有效位数），所以能够保留精确的数值。
从double转换成float,因为范围要小一些，所以值可能溢出成为+ ∞或-∞。另外，由于精确度较小，它还可能被舍入。与Intel兼容的微处理器指定位模式［10...00］（字长为w时的TMin为整数不确定值。一个从浮点数到整数的转换，如果不能为该浮点数找到一个合理的整数近似值，就会产生这样一个值。因此，表达式（int）+le10会得到—21483648,即从一个正值变成了一个负值。

IA32-FP : Intel IA32的浮点运算

IA32处理器有特别的存储器元素，称为寄存器，当计算或者使用浮点数时，用来保存浮点值。IA32非同一般的属性是,浮点寄存器使用一种特殊的80位的扩展精度格式,提供了更大的表示范围和更高的精度。所有单精度和双精度数在从存储器加载到浮点寄存器中时，都会转换成这种格式。当数字存储在存储器中时，它们就从扩展精度转换成单精度或者双精度格式。

对于程序员而言，把所有寄存器数据扩展成80位，并把所有存储器数据收缩成更小的格式的做法，会产生一些不太好的结果。这意味着从寄存器存储一个值到存储器中，然后再把它取回到寄存器中，由于舍入、下溢或者上溢，可能会改变它的值。对于C语言程序员来说，这种存入和取出并不总是可见的，因而会导致一些异常的结果。

较新版本的Intel处理器,包括IA32和较新的64位机器，对单精度和双精度浮点运算提供了直接的硬件支持。随着硬件以及基于较新的浮点指令产生代码的新编译器的使用，以前 IA32做法导致的这些奇怪特性会逐渐消失。

练习：