第四十九天 | 188.买卖股票的最佳时机|V 309.最佳买卖股票时机含冷冻期 714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目：188.买卖股票的最佳时机|V

1. 确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

2.确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

         3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

        4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

        5.举例推导dp数组

​​​​​​​

是不是其实偶数格（除0之外）和奇数格数值永远一样？

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
        for(int i = 1; i < 2 * k; i += 2){       //不能写成i < dp.size()？
            dp[0][i] = -1 * prices[0];
        }
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            for(int j = 0; j < 2 * k; j += 2){
                dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] + -1 * prices[i]);   //第i天持有
                dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);    //第i天不持有
            }
        }
        return dp[prices.size() - 1][2 * k];
    }
};

题目：309.最佳买卖股票时机含冷冻期

思路：

1.dp数组及其含义:

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态三：今天卖出股票
• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

2.确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入了，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

3.初始化：

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要给他初始成什么数值。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0

4.确定遍历顺序：

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

5.打印dp

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4, 0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]));
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }
        return max(dp[prices.size() - 1][1], max(dp[prices.size() - 1][2], dp[prices.size() - 1][3]));
    }
};

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

题目：714.买卖股票的最佳时机含手续费

ac了

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2,0));
        dp[0][0] = -prices[0];
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }
        return dp[prices.size() - 1][1];
    }
};

这道题可以说是形成闭环了，前面的理解了，这道题就很容易了