方橙

本节介绍将二次型转化为对角矩阵.1 对角化

如果一个线性方程组的方程数大于其未知数的个数,这样的方程组就叫做超定方程组(Overdetermined System).1 超定方程对于未知量：很多时候我们不能直接测得他们的值.却可以测得他们的某些线性组合：假设可以得到m个这样的线性组合,则可以构造方程组:其中为各线性组合的测量值,A为mxn的矩阵,我们需要检查测量值个数m是否大于我们

本节介绍欧几里得结构的两个基本不等式1 柯西-施瓦茨(Cauchy–Schwarz)不等式对任意向量x,y有：证明：观察实变量t的函数：根据范数的定义，以及标量积的性质可知:在上式中假定y不等于0且令：又由于q(t)>=0，于是：y=0的情形是显然的2 三角不等式对任意向量x,y有：该定理的证明参照上一节

从本节开始学习欧几里得结构相关的知识：1 欧几里得结构与标量积设X为实数域上的线性空间,如果X上存在满足下列条件的二元实值函数，则称X具有欧几里得结构，同时称该函数为标量积,标量积又叫做内积或者点积,记做：(x,y)(i) (x,y)为双线性函数，即当固定其中一个自变量时(x,y)是另一个自变量的线性函数(ii)(x,y)具有对称性，即(x,y)=(y,x)(iii

线性代数(三十四) ： 广义特征向量

线性代数(三十五) ： 谱定理

凯莱-哈密顿定理由两位数学家的名字命名，该定理有利于寻找标准若尔当形。1 凯莱哈密顿定理矩阵A满足其自身的特征多项式：证明：该定理的证明需要分以下两种情况：(i)  A无相同特征值此时A存在n个线性无关的特征向量:因此对于任意向量h有:在上式两端同时乘以Pa(A) 得到：(ii)对于一般情形的证明，需要用到以下的引理：

本节介绍谱映射定理,该定理说明了矩阵特征向量特征值与多项式的关系谱映射定理包括两部分：1 q是多项式a是方阵A的特征值，则q(a)是q(A)的特征值证明：根据特征值定义有：因此：归纳得到：定义多项式q：用q的系数分别乘上边的式子有：累加到一起得到：这就表明了该定理2 若a是A的一个特征值，则q(A)的特征值都形

线性代数(三十一) : 谱定理

线性代数(二十九) ：特征值与特征向量的性质(一)

本节开始定义矩阵谱理论中的概念特征值与特征向量以及他们存在性的证明1 定义特征值与特征向量2 存在性证明

线性代数(二十九) ：特征值与特征向量的性质

线性代数(三十六) ： 最小多项式

本节介绍等距映射 为正交群做准备.1 等距映射M是欧几里得空间到自身的映射.如果对任意x,y有：则称M为等距映射,最简单的等距映射的例子是平移：2 等距映射的性质(i) 等距映射的复合仍是等距映射(根据定义，易证)(ii)对任意等距映射都存在某个平移，使得两者复合后的映射将0映射为0.(iii)任意一个等距映射都可以拆为一个平移和一个将0映射为0的等距映

线性代数(四十一) : 正交投影

线性代数(四十) : 正交补

本节介绍正交的概念，以及将基变为正交基的格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法0 回顾正交基1 正交如果向量x,y满足:则称x与y正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular),记做：2 标准正交基设X是具有欧几里得结构的有限维线性空间则称这组基是标准正交的(orthonormal)3 格拉姆-施密特方法具有欧

线性代数(四十二) : 伴随矩阵

线性代数(五十) ：向量积

本节简单介绍复欧几里得空间的结构.0 共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.z的共轭复数记做：1 复欧几里得空间标量积2 复欧几里得空间的矩阵伴随若：则根据标量积的定义：也可以写作：即：即矩阵A的伴随等于其转置的复共轭.3 定义复欧几里得空间与标量积设X为复数域上的线性空间,如

本节介绍希尔伯特-施密特范数,它是矩阵的范数的一个简单而有用的上界1 希尔伯特-施密特范数设矩阵A=(aij)，则以下式子称为A的希尔伯特-施密特范数(Hilbert-Schmidt Norm)：它是A的范数的一个上界.下边以实矩阵为例证明它是上界：设mxn的实矩阵A：对任意：则y的分量可用x的分量表示：利用施瓦兹不等式估计上式右端的

本节介绍复欧几里得空间映射到其自身的矩阵.给出其范数的一个简单而有用的下界.该矩阵范数的定义同实欧几里得空间.0 说明：本节以下的研究都是针对复欧几里得空间到自身的映射1 范数2 特征值设A为任意的复方阵.h为A的一个长度为1的特征向量.a为对应的特征值.则：由于：该式对任意特征值成立,于是有：其中ai取遍A的全体特征

线性代数(四十八) ： 线性映射的范数

本节定义衡量线性映射或者说矩阵的大小的一个概念:范数.1 上确界设A是欧几里得空间X到另一欧几里得空间U的线性映射.我们知道实数的任何有界子集都存在最小的上节,称为上确界简记为sup.对于任意向量x,和线性映射A，Ax的每个分量都是x的分量的线性组合.当向量x的长度为1的时候。Ax的长度就构成了一个有界数集.这个数集的上确界就称为矩阵A的范数.定义：(1)式2 矩阵

线性代数(四十六) ： 正交群

线性代数(二十六) ： 矩阵的迹

线性代数(二十七) ： 伴随矩阵与逆矩阵

求解线性方程组Ax=b

求解线性方程Ax=0

矩阵的列空间与矩阵的秩

列空间和零空间可以用来求解一个线性映射的值域以及讨论线性方程组解的情况以及可逆性0 本节用到的概念：线性组合，子空间线性映射1 矩阵与列向量一个矩阵乘一个列向量可以理解为这个矩阵中所有列向量的线性组合比如：有了这个概念就可以介绍列空间了2 矩阵的列空间考虑线性方程组Ax=b 是否在b取任意向量的时候方程组都有解,如果不是b取哪些向量的时候方程组有解？根据

矩阵的零空间

矩阵的行简化阶梯型

矩阵的初等变换

线性相关(Linear dependent)与线性无关(Linear independent)对于理解矩阵的可逆性，子空间的维数，以及矩阵的秩等等是重要的.

子空间的基与维数

了解完矩阵与线性映射的关系后。现在可以讨论下矩阵乘法的运算性质了,这对以后推导其他结果是有帮助的：

矩阵是数学中一个非常重要的工具。也是线性代数的核心，矩阵可以抽象的表示很多东西：线性方程组，空间中的点，图像的像素，也可以是象棋的棋盘。矩阵的英文是matrix ，就是黑客帝国里那个matrix。matrix 的最早使用者为了将它与行列式区别开来而选中matrix这个单词。英国数学家凯莱是矩阵论的创立人。1矩阵通常矩阵在数学上的定义时很直白的，谁都看得出来。但还是写下来：一個m×n的矩

线性代数(二十五) ： 克拉姆法则

线性代数(二十四) ： 行列式的展开式—拉普拉斯公式