第五章 特殊关系（集合与关系）

第五章 特殊关系

5.1 等价关系 Equivalence Relations

公平性

归类分析的思想

• 定义：$R:A\to A$，$R$ 同时具有自反性，对称性和传递性时，称 $R$ 是 $A$ 上的等价关系。

  $例$：非等价关系有——朋友关系(无传递性)，直线平行关系(无自反性)

• 同余关系：经典等价关系

  • 同余式：$$x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$，将 $Z$ 分成 $m$ 个子集。
  • $x,y$ 互为等价关系： R = { ( x , y ) ∣ ( x , y ∈ Z ) ∧ ( m ∣ ( x − y ) ) } R=\{(x,y)|(x,y\in Z)\land (m|(x-y))\} R={(x,y)∣(x,y∈Z)∧(m∣(x−y))}

• 等价类 Equivalence Classes：集合 $A$ 满足 ∀ a ∈ A , [ a ] R = { x ∣ ( x ∈ A ) ∧ ( ( x , a ) ∈ R ) } \forall a\in A, [a]_R=\{x|(x\in A)\land ((x,a)\in R)\} ∀a∈A,[a]R​={x∣(x∈A)∧((x,a)∈R)} 的子集合 $[a{]}_R$，简记为 $[a]$，称作由 $a$ 生成的一个 $R$ 等价类。其中 $R$ 为等价关系，$a$ 称为代表元/生成元/典型元。

  • 性质：决定了集合分割集合的聚类方式。
    1. 等价类不存在部分相交：$\forall a,b\in A,$ 或 $[a]=[b]$，或 $[a]\bigcap [b]=\varnothing$.
    2. $\bigcup _{a\in A}[a]=A$.

• 集合的划分：

  • 定义：$\forall i,j(i\ne j)$，有 $A_i\bigcap A_j=\varnothing ,\bigcap _{i=1}^m{A}_i=A$，称集合 S = { A 1 , A 2 , . . } S=\{A_1,A_2,..\} S={A1​,A2​,..} 为一个分划，其中 $A_i$ 为划分的块。

  • 定理：非空集合上的每一个等价关系都对应一个分划，反之亦然。

    证明：从等价关系定义中的自反性、对称性、传递性入手

5.2 偏序关系 Partical order

秩序性

比较集合的工具

• 定义：$R:A\to A$，$R$ 同时具有自反性，反对称性，传递性时，称 $R$ 是 $A$ 上的偏序关系。记为 $⪯$（“小于等于”），序偶 $<A,R>$ 称为偏序集 partially ordered set。

  $例$：典型偏序关系 $<2^A,\subseteq >,<N^{+},|>$

• 哈斯图 Hasse diagram：简化的关系图，去掉自环(自反性)，箭头和有向边。若 $x⪯y$，则 $x$ 画在 $y$ 下方(反对称性)。若 $(i,j)$ 和 $(j,k)$ 有边时，去掉 $(i,k)$ (传递性)。

  • 盖住关系 cover®：构成 $R$ 的哈斯图的一个真子集。
    c o v e r ( R ) = { ( X , y ) ∈ R ∣ ( ∀ t ∈ A ) [ ( t ≠ x ∧ t ≠ y ) ⟶ ( ( x , t ) ∉ R ∧ ( t , y ) ∉ R ) ] } cover(R)=\{(X,y)\in R|(\forall t\in A)[(t\ne x \land t\ne y)\longrightarrow ((x,t)\notin R\land (t,y)\notin R)] \} cover(R)={(X,y)∈R∣(∀t∈A)[(t​=x∧t​=y)⟶((x,t)∈/​R∧(t,y)∈/​R)]}

  $例题$：画图，集合 A = { 2 , 3 , 6 , 12 , 24 , 36 } A=\{2,3,6,12,24,36\} A={2,3,6,12,24,36}，$“|”$ 是 $A$ 上的整除关系。

  解：

• 可比较的：
  • 定义：设偏序集 $<A,⪯>$，对 $\forall x,y\in A$，若 $x⪯y$ 或 $x⪰y$ 之一成立，则称 $x,y$ 是可比较的。
  • $例$：
    1. 集合 A = { a , b , c } A=\{a,b,c\} A={a,b,c}，偏序集 $<2^A,⪯>$ 中
       则， { a } \{a\} {a}与 { a , b } \{a,b\} {a,b}是可比较的， { a } \{a\} {a}与 { b , c } \{b,c\} {b,c}是不可比较的。
       

5.3 全序关系

• 全序关系：偏序集 $<A,⪯>$ 中任意两个元素都可比较，则称 $<A,⪯>$ 是全序集，$⪯$ 是全序关系。

• 链：偏序集 $<A,⪯>$ 中的一个子集 $B\subseteq A$，若 $<B,⪯>$ 是全序子集，则称 $B$ 为$A$ 中的一条链，链长度 = 链元素 - 1。

• 特殊元素：偏序集 $<A,⪯>$，$a$ 是 $A$ 中一个元素，则称 $a$ 为 $A$ 中的

  • 最大元 Greatest element：$\forall b\in A,b⪯a$
  • 最小元 Least element：$\forall b\in A,a⪯b$
  • 极大元 Maximal：不存在 $b\in A,a\prec b$（$\forall b\in A,b⪯a$ 或 $b$与$a$不可比较）
  • 极小元 Minimal：不存在 $b\in A,b\prec a$（$\forall b\in A,a⪯b$ 或 $b$与$a$不可比较）
    有限偏序集一定存在极大元和极小元

• 子集中的概念：设 $B\subseteq A,a\in A$，则称 $a$ 为 $B$ 的

  • 上界 Upper bound：$\forall b\in B,b⪯a$
  • 下界 Lower bound：$\forall b\in B,a⪯b$
  • 最小上界 Least upper bound：$B$ 的所有上界元素 $c\in A$中，均有 $a\in c$
  • 最大下界 Greatest lower bound：$B$ 的所有下界元素 $c\in A$中，均有 $c\in a$
    (上下界均针对于子集)
    $例题$： A = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } A=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\} A={x1​,x2​,x3​,x4​,x5​} 上元素偏序集如图，求 B = { x 3 , x 4 , x 5 } B=\{x_3,x_4,x_5\} B={x3​,x4​,x5​} 的八个概念。

解：

最大元	最小元	极大元	极小元	上界	下界	最小上界	最大下界
/	$x_5$	$x_3,x_4$	$x_5$	$x_1,x_2$	$x_5$	/	$x_5$

• 字典次序(全序关系)：根据 $ASCII$ 码比较字符串的字典序。

5.4 良序关系

• 良序关系：偏序集 $<A,⪯>$ 中任意非空子集都有最小元，则称 $<A,⪯>$ 是良序集，$⪯$ 是良序关系。

  良序关系属于全序关系，全序关系属于偏序关系
  有限全序集属于良序集
  $最大(小)元\subseteq “⪯”$ 是偏序关系。

• 有限偏序集到全序集(即良序集)的转化：设 $⪯,{⪯}^{\prime }$ 是集合 $A$ 上的两个偏序关系
  • 关系可比较的：若 $\forall a,b\in A$，当 $a⪯b$ 时有 $a{⪯}^{\prime }b$，则称关系 $⪯,{⪯}^{\prime }$ 是可比较的。
    $例题$：“整除”和“小于等于”是自然数集上两个偏序关系，且 $“|”$ 和 $“\le ”$ 是可比较的。发现 $“|”$ 是偏序而非全序，而 $“\le ”$ 是全序
  • 拓扑排序：若关系 $⪯,{⪯}^{\prime }$ 是可比较的，且 ${⪯}^{\prime }$ 是全序关系，则称关系 ${⪯}^{\prime }$ 是关系 $⪯$ 的一个拓扑排序。
  • 算法步骤：不断定义极小元之间的排序
    • $⨀$ 1. 任选 $<A,⪯>$ 中一个极小元 $x$
    • $⨀$ 2. 令 A = A − { x } A=A-\{x\} A=A−{x}
    • $⨀$ 3. w h i l e ( A ≠ ∅ ) { while(A \ne \emptyset)\{ while(A​=∅){
      1. 任选 $A$ 中一个极小元 $y$
      2. 定义序关系 $x{⪯}^{\prime }y$
      3. A = A − { y } , x : = y A=A-\{y\},x:=y A=A−{y},x:=y
         $\}$
  • 定理：任何有限偏序集都和转变成全序集。
• 良序公理(关于整数)：设 $X$ 是 $Z$ 的一个非空子集合，若存在 $a\in Z$，使得对所有的 $b\in X$，都有 $a\le b$，则 $X$ 中必有一个最小整数。