【LeetCode热题100道笔记+动画】零钱兑换

题目描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

• $1<=coins.length<=12$
• $1<=coins[i]<=231-1$
• $0<=amount<=10^4$

思考

完全背包问题的应用：将硬币面值视为物品，金额金额视为背包容量，求解求“装满容量为amount的背包所需最少物品数量”。通过动态规划求解，允许物品重复选择（硬币可多次使用）。

算法过程

1. 初始化：

   • dp[i] 表示装满金额 i 所需的最少硬币数
   • 初始化 dp 数组为 Infinity（表示初始状态下无法装满）
   • 特例：dp[0] = 0（金额为0时无需任何硬币）

2. 状态更新：

   • 遍历所有金额 i（从1到 amount）：
     • 遍历每个硬币面值 coins[j]：
       • 若 i >= coins[j]（当前硬币可使用），则 dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)（取“不使用当前硬币”和“使用当前硬币（基于 i - coins[j] 的解加1）”中的最小值）

3. 结果判断：

   • 若 dp[amount] 仍为 Infinity，返回 -1（无法凑成该金额）
   • 否则返回 dp[amount]（最少硬币数）

时间复杂度

• 时间复杂度：O(amount × n)，amount 为目标金额，n 为硬币种类数（两层循环）
• 空间复杂度：O(amount)，需存储长度为 amount + 1 的 dp 数组

该方法通过完全背包的正向遍历逻辑（允许重复使用硬币），高效求解最少硬币数量，利用 Infinity 巧妙标记不可达状态。

代码

/**
 * @param {number[]} coins
 * @param {number} amount
 * @return {number}
 */
var coinChange = function(coins, amount) {
    const dp = Array(amount+1).fill(Infinity);
    dp[0] = 0;

    for (let i = 1 ; i <= amount; i++) {
        for (j = 0; j < coins.length; j++) {
            if (i >= coins[j]) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-coins[j]] + 1);
            }
        }
    }

    return dp[amount] === Infinity ? -1: dp[amount];    
};

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