Floyd算法的证明

Floyd算法的证明

Floyd算法求每个点间的最短路径：
void floyd()
{
for(k=0;k<n;k++)
   for(i=0;i<n;i++)
       for(j=0;j<n;j++)
           A[i][j]=min(A[i][j],A[i][k]+A[k][j]);
}

设有n的结点,A^k(i,j)为从i到j但不经过索引大于k的结点的最短路径长度.则有:

A(i,j)=min{min_1<=k<=n{A^k-1(i,k)+A^k-1(k,j)},cost(i,j)}

显然,A⁰(i,j)=cost(i,j),1<=i<=n,1<=j<=n.

以以下方法可以得到A^k(i,j)的递归公式:

从i到j且不经过索引大于k的结点的最短路径,可以经过索引为k的结点,也可以不经过.

如果经过,则A^k(i,j)=A^k-1(i,k)+A^k-1(k,j).

如果不经过,则所有中间结点的索引都不大于k-1,因此A^k(i,j)=A^k-1(i,j).

综上所述:

A^k(i,j)=min{A^k-1(i,j),A^k-1(i,k)+A^k-1(k,j)},k>=1

因为A⁰已知,可由此计算A1.同理:

在计算A^k(i,j)时,A^k-1(i,j),A^k-1(i,k),A^k-1(k,j)已经算出.

这些值将作为新值的基础,在确定之后不会改变.

由此自底而上地计算A1,A2,A3,…….最后得出An.

现在回过来想,floyd其实就一dp吧......07-02-09

原文地址： http://hi.baidu.com/midnjhvjexefgtr/item/d793c0b2f0ba44a5eaba93d7