2 Egg Problem

2 Egg Problem

 继续我们的推理问题之旅，今天我们要对付的是一个Google的面试题：Two Egg Problem.

我们开始吧！ 

No.2  Google Interview Puzzle : 2 Egg Problem

* You are given 2 eggs.

* You have access to a 100-storey building.

* Eggs can be very hard or very fragile means it may break if dropped from the first floor or may not even break if dropped from 100^th floor. Both eggs are identical.

* You need to figure out the highest floor of a 100-storey building an egg can be dropped without breaking.

Now the question is how many drops you need to make. You are allowed to break 2 eggs in the process

 

分析与解答：

   

     题目要求试的最大次数最小。首先，讨论两个比较trivial的方案。

 

   方案1：从第一层开始扔鸡蛋，如果鸡蛋不碎，则上一层再扔。这样，如果鸡蛋在某一层碎的话，该层就是临界的层。这种方案的优点在于省鸡蛋，只会摔破一个鸡蛋。还有一个鸡蛋可以带回家，做个鸡蛋羹，补充营养个!  :) 缺点就是，如果鸡蛋在100层才碎的话，那就要试100次啦。那你等电梯要等死啦，而且还要接受别人的打量的目光，心说这怪咖为什么每次都只坐一层楼啊…

 

  方案2： 想必很多人都会想到这个方案。我只能说，这是中国计算机教育的成功啊。这就是“二分查找法”。首先在第50层楼扔鸡蛋，如果鸡蛋不碎的话，就去75楼。如果碎了的话，那么对不起，同志。由于你只剩一个鸡蛋了，所以你得小心地从第一层开始，这样才能保证你在鸡蛋碎完的时候能找到临界楼层。这种方法的优势在于，如果你知道你的鸡蛋比较硬的话，你就采用这个方法吧。临界楼层越高，这个方法尝试的次数越小。但这种优势是用临界楼层比较小时比较大的尝试次数为代价获得的。我们看到，如果临界层数在49层的话，我们要尝试50次，而临界层数为100层的时候，尝试次数只有7次。但是，现在的问题是，全部情况下的最大尝试次数最小。这样，虽然在某些情况下，这种方法的性能很好。但是就最差情况而言，还是要尝试50次，好像还是有点大。这边，我们想起来，“二分查找法”的目标是平均性能最佳，并不是最差性能最佳。我们似乎走错了路！！！不过，方案二相比方案一来讲还是有进步的。

 

  方案2似乎陷入了“短板效应”的泥沼，由于最坏情况下的坏性能制约了总体性能的提高。解决这个问题的总的原则应是：“一碗水端平”，尽量做到各种情况下的尝试次数尽量差不多。这正应合GOOGLE的信条Don't be evil，不以别的情况为代价换取另一些情况的指标的提高。做到“不伤害”.(呵呵，这是我瞎联想的)。那么，就照着这条路走吧，我假设每种情况下最大的尝试次数为x.

  则第一次扔蛋的楼层应为x;

第二次扔蛋的楼层应为 x+(x-1);

…

   依次类推。

   从上面看到，每次我们增加的楼层都是前一次减1.我们所要保证的就是应该在增加的层数变成0之前到顶楼，所以有：

   x+(x-1)+…+1≥100

   这是一个等差数列，整理后有：

     x²+x-200≥0

发现x≥14。

 

我们总结一下：

  第一次在14楼扔，如果碎了的话从一楼再开始扔；

否则在14+13=27层扔，如果碎了的话从15层开始扔；

否则在27+12=39层扔，如果碎了的话从28层开始扔；

……

这样，最大尝试次数为14次就行了。不信你试试。

 

最后，为了体现严谨性，给出本题的模型：

 

转移方程：

minNum[n ] = min(1 + max(i – 1, minNum[n-i])) ，for 1≤i ≤n

边界条件:

minNum[0] = 0; minNum[1] = 1

这里，n为楼层数，i为起始楼层数。

 

据说这是一个动态规划问题，我还没来得及仔细研究。其实，我的感觉是，很多理论最初的来源都是很朴素的真理，只是我们没学懂，所以把它们想复杂了。所以，很好的理论就这样不被大多数人所理解了。

 

参考文献：

1.       http://blog.youkuaiyun.com/TravelInHistory/archive/2006/12/07/1434098.aspx

2.       http://classic-puzzles.blogspot.com/2006/12/google-interview-puzzle-2-egg-problem.html