Brian Kernighan 算法

一、算法背景

Brian Kernighan 算法是一种高效计算二进制数中 1 的个数（即汉明权重，Hamming Weight）的技巧。相比于逐位检查的常规方法，它只遍历值为 1 的位，而不是所有位，因此在二进制中 1 较少时尤为高效。

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二、核心原理

算法的关键在于一个非常巧妙的位运算恒等式：n & (n - 1) 的结果是将 n 的二进制表示中最低位的 1 变为 0。

为什么？

• 对于任意非零整数 n，n - 1 会：

  • 将最右侧的 1 变为 0

  • 将该位右边的所有 0 变为 1

  • 左侧高位保持不变

例如：n = 10100（20）

text

n       = 10100
n - 1   = 10011
n & (n-1) = 10000  ← 最低位的 1 被清除了

因此，每次执行 n &= n - 1，就能消除一个 1，循环次数正好等于 1 的个数。

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三、代码实现

int countBits(int n) {
    int count = 0;
    while (n != 0) {
        n &= (n - 1);
        count++;
    }
    return count;
}

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四、复杂度分析

维度	复杂度	说明
时间复杂度	O(k)	k 为二进制中 1 的个数，远优于固定循环 32/64 次
空间复杂度	O(1)	只使用常数个变量

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五、边界情况与注意事项

1. 负数的处理

在 Java 中，有符号整数使用补码表示。Kernighan 算法使用 n & (n - 1) 操作，对负数同样有效，因为：

• n - 1 在补码下仍然会将最低位的 1 变为 0，该位右侧的 0 变为 1

• & 操作后，该最低位的 1 被清零，高位保持不变

• 循环 while (n != 0) 会在所有 1 被清除后结束（包括符号位）

• // Java 中直接使用 int（包括负数）完全没问题
  public static int countBits(int n) {
      int count = 0;
      while (n != 0) {
          n &= (n - 1);
          count++;
      }
      return count;
  }
  
  System.out.println(countBits(-1));   // 补码全1 → 32
  System.out.println(countBits(-13));  // 补码中1的个数 → 30

2. n = 0 的情况

循环条件 while (n != 0) 为 false，直接返回 0，结果正确。

System.out.println(countBits(0));   // 输出 0

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六、相关位运算技巧

表达式	效果	常见用途
n & -n	提取最低位的 1（lowbit）	树状数组（Fenwick Tree）
n ^ (n - 1)	生成从最低位到第一个 1 的掩码	位运算扩展
n | (n - 1)	将最低位的 1 之后所有位变为 1	位域合并

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七、示例演示

以 n = 13（二进制 1101）为例：

步骤	当前 n	n-1	n & (n-1)	消除的 1	计数
初始	1101	—	—	—	0
①	1101	1100	1100	最低位	1
②	1100	1011	1000	第二位	2
③	1000	0111	0000	最高位	3

最终 count = 3，即 1101 中有 3 个 1。

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八、其他统计方法对比

方法	循环次数	优点	缺点
逐位检查	固定 32/64 次	简单直观	即使 1 很少也要循环所有位
Kernighan	等于 1 的个数	高效，位数越稀疏越快	仍然依赖循环次数
查表法（分块）	固定次数（如 4 次查表）	速度极快	需要额外内存
内置指令（__builtin_popcount）	O(1) 硬件级	最快	非跨平台