FOJ 1752 && FOJ 1759 （a^b%c 的不同情况）

博客原文地址：http://blog.youkuaiyun.com/xuechelingxiao/article/details/38614491

对于一般的求a^b%c的值，当a,b都在long long范围内，c在1e9的时候，都可以用快速幂取模进行求解。

LL powerMod(LL x, LL k, LL m){
    LL res = 1;
    while(x %= m, k){
        if(k&1) res *= x, res %= m;
        x *= x, k >>=1;
    }
    return res;
}

但是当其中的参数变得相对大之后，单纯的快速幂可能就不能解决问题了，下面这两个题就是当 a^b%c中某个参数变大之后出现的问题。

FOJ 1752 A^B mod C

题目大意：题意很简单，就是求a^b%c的结果，只是a,b,c的范围是 (1<=a,b,c<2^63)。

思路：这个题最关键的问题是在快速幂的时候，由于a的最大值是2^63-1，所以会出现乘法溢出，这也是最容易WA的地方。

要解决这个问题，就需要将乘法转换成加法，进行“快速乘”（暂且这么叫吧，我也不知道叫啥-。-），就是代码中的multiplyMod，接下来就没什么问题了。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#define ULL long long
using namespace std;

ULL n, m, mod;

ULL multiplyMod(ULL x, ULL k, ULL m){
    ULL res = 0;
    x %= m;
    while(k){
        if(k&1){
            res += x;
            if(res >= m)
                res -= m;
        }
        x += x;
        if(x >= m){
            x -= m;
        }
        k >>=1;
    }
    return res;
}

ULL powerMod(ULL x, ULL k, ULL m){
    ULL res = 1;
    while(k){
        if(k&1){
            res = multiplyMod(res, x, m);
        }
        x = multiplyMod(x, x, m), k >>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &mod)){
        printf("%I64d\n", powerMod(n, m, mod));
    }

    return 0;
}

FOJ 1759 Super A^B mod C

题目大意：一样的求a^b%c的结果，只是b的范围变得很大了， (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000)。

思路：对于这个问题，就需要用到一个公式

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C)

对于这个公式，可以给出两个证明的博客，一个是aekdycoin大犇的证明：http://www.narutoacm.com/archives/a-pow-b-mod-m/

另一个是 http://www.narutoacm.com/archives/a-pow-b-mod-m/

有了理论支持，这个题也就不是什么问题了，代码如下。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define LL long long

int eular(int n){
	int ret = 1;
	for(int i = 2; i*i <= n;i++)
		if(n%i == 0){
			n /= i, ret *= i-1;
			while(n%i == 0)
				n /= i, ret *= i;
		}
	if(n > 1)
		ret *= n-1;
	return ret;
}

LL powerMod(LL x, LL k, LL m){
    LL res = 1;
    while(x %= m, k){
        if(k&1) res *= x, res %= m;
        x *= x, k >>=1;
    }
    return res;
}

LL n, mod;
char m[1000005];

int main()
{
    while(~scanf("%I64d%s%I64d", &n, m, &mod)){
        LL phi = eular(mod);
        int len = strlen(m);
        LL num = 0;
        for(int i = 0; i < len; ++i){
            if(len >= 10){
                num = (num*10+(m[i]-'0'))%phi + phi;
            }
            else {
                num = num*10+(m[i]-'0');
            }
        }
        printf("%I64d\n", powerMod(n, num, mod));
    }

    return 0;
}