数据结构-树-二叉树

树是什么？

一种用于表示具有树状结构性质的数据结构。

树的应用

操作系统中的文件目录，D盘是根、Android是D的子节点、sdk是Android的子节点

公司的组织结构图

家族的族谱

树长啥样？

树和图什么关系？

树不包含回路，任意两点之间只有一条路径，树是一个不包含回路的无向图。

下面就是包含回路的图，而不是树。

树

1. 任意两点之间只有一条路径
2. 一棵树如果有n个节点，那么其恰好有n-1条边
3. 在一棵树中加一条边会构成回路
4. 没有父节点的节点称为根节点，前面第二张图中的1，就是根节点
5. 每个非根节点有且只有一个父节点

术语

• 根节点：一棵树有且只有一个根节点，在树的最顶部（我称之为大BOSS，通常是公司中的老大、族谱中的祖先）。1就是根节点。
• 父节点：在其下方拥有直属的节点。如上图中的2，拥有4和5这两个直属的节点，4和5被称为子节点，2是父节点。
• 子节点：在其上方拥有直属的节点。4和5就是2的子节点。
• 节点的层次：根节点为第一层、往下推。2、3为第二层；4、5为第三层。
• 树的深度：节点的最大层次。此处节点的最大层次是3，所以树的深度是3。
• 叶节点：没有直属子节点的节点。如4、5。
• 内部节点：不是根节点，其拥有父节点、也拥有子节点。我称之为夹在中间的奥利奥。如2号节点就是内部节点。
  参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91_(%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84)

二叉树

二叉树是指，其任意一个节点，拥有[至多]两个子节点的树。

即如果存在一个深度为n的二叉树，其[至多]拥有2^n-1个节点。

满二叉树

深度为n的满二叉树，其[一定]拥有2^n - 1个节点。
即除了叶子节点，其他任意一个节点都是拥有2个子节点。

拥有以下计算公式：
深度为n的满二叉树，总节点个数：2^n - 1
第k层的节点个数：2^k / 2

完全二叉树

假设有一个深度为n的完全二叉树。
其第1层到(n-1)层达到最大节点数。
可以看作是深度为(n-1)的满二叉树。
第n层则是[从右向左]连续缺若干节点。

即如果存在右子节点，其一定存在左子节点。

—图片来自谷歌，侵删

第一排第二个图，请注意，从右向左[连续]缺。所以它不是。

二叉树的存储

将每个节点的数字看作数组下标，可以看到使用一个一位数组即可存储一个二叉树。

访问一个父节点的子节点，n为父节点的下标
访问左子节点i = 2n (n ∈ 正整数)
访问右子节点i = 2n + 1 (n ∈ 正整数)

例如2为父节点，下标为2
访问左字节：2*2 = 4
访问右子节点2*2+1 = 5

访问一个子节点的父节点，则下标编号/2
例如4的父节点 = 4 / 2 = 2
5的父节点 = 5 / 2 = 2(下取整)
6的父节点 = 6 / 2 = 3

代码演示

public class DefineBinaryTree {
    public static void main(String[] args) {
        int[] binaryTree = new int[8];
        for (int i = 1; i < 6; i++) {
            binaryTree[i] = i;
        }
        System.out.println("访问2号节点的左右子节点");
        System.out.println("2的左子节点是：" + binaryTree[2*2]);
        System.out.println("2的右子节点是：" + binaryTree[2*2 + 1]);
        System.out.println("5的父亲节点是：" + binaryTree[5 / 2]);
    }
}

结果

访问2号节点的左右子节点
2的左子节点是：4
2的右子节点是：5
5的父亲节点是：2

Q：

偶然搜到了一道题，就试着做了一下。
分享出来。

一棵有124个叶节点的完全二叉树，最多有（ ）个节点。
     A.247
     B.248
     C.249
     D.250

A:

前提摘要：
计算[满]二叉树第i层的节点个数：2i / 2
深度为h的满二叉树所有节点个数：2i - 1

深度为h的[完全]二叉树的总节点个数 可以看作
      h-1层的满二叉树所有节点个数 + h层的节点个数


首先估计h的值
在第h层，节点个数是124
2h  / 2 = 124
2 h = 248，所以h可以估计为8
表示124个叶子节点中，[大部分]落在了第8层

h = 8，那么我们将前7层看作满二叉树
前7层的总节点个数为27-1 = 127
仅第7层的节点个数为27 / 2 = 64

因为第7层有64个节点，那么扩展下来[应该]有128个子节点
然而题中说到只有124个叶子，计算124个子节点需要多少个父节点
124 / 2 = 62
也就是说第七层的64个节点中，现在有2个是叶子节点
因此从124个叶子节点中减去2个，124-2=122
也就是说，此时第8层有122个叶子节点
完了嘛？没有。
122/2=61，还要少一个父节点，即第7层多了1个叶子节点
再减去一个叶子节点给第7层，122-1=121

最终答案：127+121 = 248。

问题来源：http://www.nowcoder.com/questionTerminal/761907e18b9f4ba7af93bfa77c7bd1a2?toCommentId=151949

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