两个精巧的算法

最新推荐文章于 2021-03-04 18:33:58 发布

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#算法 #二进制数1个数

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1、计算一个二进制数中1的个数

如给定一个整型数 x = 10，它的二进制表达式是(1010)B，题意就是计算出x的二进制表示中一的个数是2。

分析如下：

如果将x转化为二进制，就可以计算出1的个数了，此时复杂度是o(log n)的，复杂度还可以。

int func(int x){
	int count = 0;
	while(x){
		if(x%2 == 1) count++;
		x /= 2;
	}
	return count;
}

但是如果要继续降低复杂度，那就是常数级别的了，想想都很牛逼，确实，这个算法真实存在。

分析如下：

以x = 10为例，二进制表示(1010)B

x x-1 x&(x-1)

1010 1001 1000

因为减1就是最低位的那个1借位的，所以当x&(x-1)自然就去掉了一个想要计算的1，如此循环，直到x==0，也就算完了所有的1。真是妙！

x x-1 x&(x-1) count

1010 1001 1000 1

1000 0111 0000 2

int func2(int x){
	int count = 0;
	while(x){
		x = x & (x - 1);
		count ++;
	}
	return count;
}

此时的复杂度就是o(m)，m为x中1的个数。
显然这个算法的复杂度更低。当二进制数中1的个数比较稀疏的时候，效率尤其高。

2、已知有随机生成1和7之间数的函数，设计生成1到10之间随机数的函数

乍一看，觉得很简单，也就是rand7()/7*10，但是这样做了以后会发现，有些数字是不可能出现的，也就是这个算法导致各个数出现的概率不均匀了。

分析：

运算的目的在于产生均匀分布的1-10，可是我们只有1-7，所以就要相办法产生数8-10，并且要求均匀。

这里提出一种叫做拒绝采样的方法。主要的思想是如果产生的随机数是目标范围内的，就直接返回，如果不是目标范围内的数，就丢弃，重新采样。

只要保证目标范围内的数是均匀分布的，就达到目的了。

均匀分布构造如下：[ rand7() + ( rand7() - 1 ) * 7 ] % 10 + 1

1  2  3  4  5  6  7
1  1  2  3  4  5  6  7
2  8  9 10  1  2  3  4
3  5  6  7  8  9 10  1
4  2  3  4  5  6  7  8
5  9 10  1  2  3  4  5
6  6  7  8  9 10  1  2
7  3  4  5  6  7  8  9

1  2  3  4  5  6  7
1  1  2  3  4  5  6  7
2  8  9 10  1  2  3  4
3  5  6  7  8  9 10  1
4  2  3  4  5  6  7  8
5  9 10  1  2  3  4  5
6  6  7  8  9 10  *  *
7  *  *  *  *  *  *  *

如上，首先产生的是49个数，这49个数显然不能保证概率的均匀性，但是前40个数据能保证是均匀分布的，因此可以舍弃后9个数据。

这样舍弃后的数据就是均匀分布的40个数据了。

int rand10() {
	int idx;
	do {
		idx = rand7() + ( rand7() - 1 ) * 7;
	} while (idx > 40);
	return 1 + (idx - 1) % 10;
}