56、基于原始对偶算法的凸规划能量最小化

基于原始对偶算法的凸规划能量最小化

1. 引言

原始对偶方法在许多优化问题中已被广泛应用，用于获取最优和近似解，主要应用于线性规划问题。近年来，有人将原始对偶范式应用于更一般的凸规划和Karush - Kuhn - Tucker（KKT）条件。本文聚焦于速度缩放模型下的能量最小化调度问题，在该模型中，每个处理器的速度可动态变化，能耗是速度的凸函数。

具体来说，若处理器在时间 $t$ 的运行速度为 $s(t)$，则所需功率为 $P(t) = s(t)^{\alpha}$（其中 $\alpha > 1$ 是与机器相关的常数），处理器的能耗为功率随时间的积分，即 $E = \int P(t)dt$，处理器执行的总工作量为速度随时间的积分，即 $w = \int s(t)dt$。

我们关注速度缩放可抢占开放式车间问题，该问题可自然地表述为凸规划问题。在能量最小化速度缩放可抢占开放式车间问题中，给定一组 $n$ 个作业 $J = {J_1, J_2, \ldots, J_n}$ 和一组 $m$ 个处理器 $M = {M_1, M_2, \ldots, M_m}$。每个作业由需在不同处理器上运行的操作组成，同一作业的操作不能同时执行。作业 $J_j$ 的操作 $O_{ij}$ 需在处理器 $M_i$ 上执行，其工作量为 $w_{ij} \geq 0$。操作可以被抢占，目标是在给定截止日期 $d$ 前完成所有操作的同时，最小化总能耗，该问题记为 $O|pmtn, d|E$。

2. 预备知识

在大多数速度缩放问题中，由于速度 - 功率函数的凸性，在最优调度中每个作业/操作在整个执行过程中以恒定速度运行。给定操作 $O_{ij}$ 的速度 $s_{