43、高效计算慢跑路线

高效计算慢跑路线

1. 问题定义

在正式定义相关问题之前，我们需要引入一些符号。将行人网络建模为无向图 $G = (V, E)$，其中边的成本 $\ell: E \to Z_{\geq 0}$ 为非负整数。通常，顶点对应交叉路口，边对应可步行的路段。假设图具有直线嵌入，因为顶点有相关的经纬度坐标，并且图始终是连通的。

1.1 简单慢跑问题（SJP）

输入为图 $G$、源顶点 $s \in V$ 和目标成本 $L \in Z_{\geq 0}$，目标是计算一条经过 $s$ 且成本 $\ell(P) = L$ 的循环路径 $P$。在实际场景中，成本通常代表地理长度。SJP 问题是 NP 难的，可通过从哈密顿循环问题归约得到。如果允许运行时间与 $L$ 成正比，可以使用动态规划解决 SJP 问题，具体步骤如下：
1. 维护一个布尔矩阵 $Q: V \times Z_{\geq 0} \to {0, 1}$，大小为 $|V| \times L$，用于表示是否存在一条到顶点 $u$ 且成本为 $\ell$ 的路径。
2. 初始化 $Q$ 全为 0，除了 $Q(s, 0)$ 设为 1。
3. 按递增顺序考虑后续成本值 $\ell$（从 0 开始）。
4. 对于每条边 $uv \in E$，检查是否可以将现有路径扩展到 $v$ 且成本为 $\ell$，即检查 $Q(u, \ell - \ell(uv))$ 是否为 1，并相应更新 $Q(v, \ell)$。
5. 当 $\ell$ 超过输入成本 $L$ 时停止。
6. 若 $Q(s, L) = 1$，则请求的慢跑路线存在。

该算法的运行时间为 $O(L|E|)$