基于动态规划的优化分箱算法

问题：

假设有3, 1, 18, 11, 13, 17等6个数，不进行排序分为 bins = 4 箱，要求分箱后总开销最少。

注：每个箱子的开销为，x1,...xn(箱内元素)的和方差，空箱子的开销为+∞，比如一个箱子里放13和17两个数，avg = (13+17)/2 = 15, 

则此箱子的开销cost = (13-avg)^2 + (17-avg)^2 ，就是求他们的和方差sse

解决方法：

1. 递归

import numpy as np

def sse(arr):
    if len(arr) == 0: # deal with arr == []
        return 0.0

    avg = np.average(arr)
    val = sum( [(x-avg)*(x-avg) for x in arr] )
    return val

LARGE_NUM = 1000000000.0
def v_opt_rec(xx, b):
    mincost = LARGE_NUM
    n = len(xx)

    # check boundary condition:
    if n < b:
        return LARGE_NUM + 1
    elif b == 1:
        return sse(xx)
    else:  # the general case
        for t in range(n):
            prefix = xx[0 : t+1]
            suffix = xx[t+1 : ]
            cost = sse(prefix) + v_opt_rec(suffix, b - 1)
            print('  '*calc_depth(b),'mincost:',mincost,'cost:',cost)
            mincost = min(mincost, cost)

        return mincost

递归思路，把数字分成两部分，每次的cost 等于前部分的开销加后部分继续调用函数计算

cost = sse(prefix) + v_opt_rec(suffix, b - 1)

递归的方法优点是占用空间少、逻辑简单；缺点是计算效率不高，进行了多次重复计算

2. 动态规划

什么是动态规划？

很多人觉得动态规划复杂，其实用一句话就可以描述出其本质。动态规划的本质就是：记住已经解决过的子问题的解。

即，新的问题不在重复计算已经解决过的问题了。

比如计算斐波那契数列，用递归方法是，

def fib(x):
    if x == 0 or x == 1:
        return 1
    else:
        return fib(x-1)+fib(x-2)

如果你要计算fib(4),

可以看出，f(0)，f(1), f(2)都被重复计算了，这样浪费了很多计算机资源

如果我们可以在首次计算f(0)，f(1), f(2)时，就把其存储起来，第二次需要计算f(2)时