条件概率和Bayes法则（Bayes' rule）

条件概率的定义

$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

条件概率与普通概率相同的属性

• $P(A | B) \ge 0$
• $P(\Omega | B) = \frac{P(\Omega \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$
• $P(B | B) = \frac{P(B \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$
• if $A \cap C = \emptyset$ ，那么$P(A \cup C | B) = P(A | B) + P(C | B)$

乘法法则(multiplication rule)

它可以计算几个事件同时发生的概率通过概率和条件概率的相乘。公式如下：

$$P(A_1 \cap A_2 \cap ... A_n) = P(A_1) * \prod_{i=2}^n P(A_i | A_1 \cap ... A_{i-1})$$

全概率定理(Total Probability Theorem)

如果把样本空间划分成无数个事件序列，推导过程大致是一样的。

Bayes法则（Bayes’ rule）

$P(A_i | B) = \frac{P(A_i) * P(B | A_i)}{\sum_j P(A_j)*P(B | A_j)}$