条件概率和Bayes法则(Bayes' rule)

本文介绍了条件概率的基本概念,如P(A|B),并探讨了其与普通概率的关系,包括非负性及特定情况下的等式。还讨论了乘法法则、全概率定理及其在计算多个事件同时发生的概率中的应用。最后,文章深入解析了Bayes法则,给出公式P(Ai|B)=P(Ai)∗P(B|Ai)∑jP(Aj)∗P(B|Aj),用于更新先验概率。

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条件概率的定义

P(A|B)=P(AB)P(B)

条件概率与普通概率相同的属性

  • P(A|B)0
  • P(Ω|B)=P(ΩB)P(B)=P(B)P(B)=1
  • P(B|B)=P(BB)P(B)=P(B)P(B)=1
  • if AC= ,那么P(AC|B)=P(A|B)+P(C|B)

乘法法则(multiplication rule)

它可以计算几个事件同时发生的概率通过概率和条件概率的相乘。公式如下:

P(A1A2...An)=P(A1)i=2nP(Ai|A1...Ai1)

全概率定理(Total Probability Theorem)

全概率定理

如果把样本空间划分成无数个事件序列,推导过程大致是一样的。

Bayes法则(Bayes’ rule)

P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)jP(Aj)P(B|Aj)

Bayes法则

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