筛选素数的方法(埃氏和欧拉筛)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[10000],record[10000];
void t(){
	v[0]=v[1]=1;
	for(int i=2;i<=1000;i++){
		if(!v[i]){
			for(int j=2;j*i<=1000;j++)
				v[j*i]=1;
		}
	}
	int k=0;
	for(int i=1;i<=1000;i++)
		if(!v[i])k++;
	cout<<"1000以内的素数有"<<k<<"个";//168个 
}

void oula(){
	for(int i=2;i<=1000;i++){
		if(!v[i])record[++record[0]]=i;
		for(int j=1;j<=record[0]&&i*record[j]<=1000;j++){
			v[ i*record[j] ]=1;
			if(i%record[j]==0)break;
			
		}
	}
	cout<<record[3]<<endl;
	cout<<"1000以内的素数有"<<record[0]<<"个";//168个 
}
//欧拉筛法伪代码:
/*
void oula(){
	for(要筛选的区间){
		if(该数字没有被筛过){
			prime[++prime[0]]=该数字 ;  //记录该数字并且计数 
		} 
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=maxn;j++){
			v[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;		//保证每个合数被最小的因素筛 
		}		
	} 
}



*/ 
int main(){
	oula();
	
}

 

### 欧拉性能对比 #### 时间复杂度分析 的时间复杂度为 \(O(n \log \log n)\),这是因为对于每一个素数 p,算会标记其倍数作为合数。而欧拉通过线性筛选的方式,在遍历过程中只对每个合数进行一次操作,因此时间复杂度可以达到更优的 \(O(n)\)[^1]。 #### 实现方式差异 的核心在于从2开始枚举到\(n\),当遇到未被标记过的数字,则认为该数字是素数,并将其所有的倍数都标记成非素数;相比之下,欧拉不仅能够高效找出所有小于等于给定整数内的全部素数,而且不会重复处理同一个合数多次。具体来说,每当发现一个新的素数时,就立即利用它去更新后续可能存在的更大合数值的状态[^2]。 ```cpp // C++ implementation of Sieve of Eratosthenes bool primes[100000]; void eratosthenes_sieve(int max_num){ memset(primes, true, sizeof(primes)); primes[0]=primes[1]=false; for(int i=2;i*i<=max_num;++i){ if(!primes[i]) continue; for(int j=i*i;j<=max_num;j+=i) primes[j]=false; } } // C++ implementation of Euler's Sieve vector<int> euler_sieve(int limit) { vector<bool> isPrime(limit + 1, true); vector<int> primeList; for (int num = 2; num <= limit; ++num) { if (isPrime[num]) primeList.push_back(num); for (auto& p : primeList) { if (num * p > limit) break; isPrime[num * p] = false; if (!(num % p)) break; } } return primeList; } ``` #### 性能测试方案 为了直观展示两种算效率上的区别,可以通过编写程序来测量它们在不同规模输入下的运行时间。这通常涉及到设置一系列递增的数据集大小(比如10、100、1000...),并记录每次执行所需的实际耗时。这样的实验可以帮助理解随着数据量增长,哪种方法表现得更好[^3]。
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