一次一小步之用C++实现Huffman文件压缩

首先介绍下Huffman算法：

哈夫曼编码(Huffman Coding)是一种编码方式，哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。Huffman于1952年提出一种编码方法，该方法完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长 度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫作Huffman编码。

明确几个概念：（主要来自高教出版的数据结构与算法，不想看的这里可以直接跳过，点这里）

 

结点路径长：如果n1,n2,n3,...,nk是树中的节点序列，并且ni是ni+1(1=<i<=k-1)的父结点，这节点序列n1,n2,n3,...,nk称为n1~nk的一天路径，路径长度就是k-1个长度之和。

树的路径长度：从树的根到树中每一个结点的路径长度之和。

 

如上图所示，假如每个相邻结点之间长度为1，从A到C之间的路径长度即为2

 

 

扩充二叉树：每当在原来的二叉树出现空子树时，就加上一个特殊的结点，如下图

 

外结点：上图方形的结点；

内结点：圆形的结点；

外路长：根结点到每个外节点的路长之和；

内路长：根结点到每个内结点的路长之和；

加权路长：设有m个实数w1,w2,w3,...,wm，构造一棵有m个外结点的扩充二叉树，并按一定的方法将数w1,w2,w3,...,wm与这m个外结点联系起来，称SUM(wjlj)为二叉树额加权路长，其中lj为某个外结点外路长，wj是与此结点相对应的实数，如上图的实数；

 

 

显然，上图的加权路长为2 * 3 + 1 * 3 + 3 * 2 + 6 * 3 + 7 * 4 + 4 * 4 + 5 * 3 + 8 * 3，但是，你发现了吗？将1、2和7、4的未知替换之后，加权路长会减少，对，我么离Huffman不远了。

 

现在，我们需要构造这样一棵二叉树，它的出现使我们有最小的加权路长，因而我们能用这个原理来压缩信息。

至于怎么用，且听我慢慢说来：

 

计算机里文件的最小单位是字节Byte，8位，采用等长编码，共256个码，于是我们将他们构成一颗二叉树，每个码都对应一个二叉树的叶结点，这棵树有511个结点，共9层。由于是等长编码，这棵二叉树的扩充二叉树的每个权值的大小相同，不妨定为1/256，于是，这颗扩充二叉树的加权路长为1/256*8*256=8，刚好是每个字节有的位数。但是，大家知道，文件中每个字符出现的频率是不一样的，比如26个字母的出现的频率不一致造成了你现在的键盘布局。

 

于是，我们不妨统计一下每个字符的频率，将频率作为上面提到的256个码扩充二叉树的权值，这样，只要通过一定的算法构造一课最优的扩充二叉树，我们就可以达到信息压缩的目的。

 

可能看得有点迷糊，不要紧，看下面的例子，顺便提下前缀性编码：

 

假如一种信息由a,b,c,d组成，各字符出现的频率是0.12、0.4、0.15、0.33，用一个二进制数字串，对每个字符进行编码，使任意一个字符的编码不会是任何其他字符编码的前缀。通常把编码的这种特性佳作“前缀性”，“前缀性”使任意两个字符之间不需要加分隔符。

如上图所示，等长编码的编码长度为2（上面提到过，加权路长即为编码位数），而哈夫曼编码长度为：0.12 * 3 + 0.15 * 3 + 0.33 * 2 + 0.4 * 1 = 1.87，显然，我们达到了信息压缩的目的。

 

好了，说到这里，我们以256个数码（对应一个字节）为例，正式开始讲解Huffman算法：

1、给出256个数码的统计频率，即权值，构造具有256棵扩