二叉树

【二叉树特点】

二叉树由根结点，左子树和右子树构成，具有以下几个典型特点：

1. 只有一个根节点，每个结点下面最多只有两棵树；
2. 在二叉树的第i层上至多有2^（i-1）个结点（i>=1）;
3. 深度为k的二叉树至多有（2^k） -1个结点（k>=1）;
4. 对任意一颗二叉树，如果叶子结点数为n0，度为2的结点（结点拥有的子树数就是度）点数为n2，则n0 = n2 + 1；
   对于第4个特点，需要特别解释一下，可以从连接各结点之间的分支线角度来看，结点总数设为n，分支线总数为n-1（规律总结一下就晓得了），度为0的结点就是叶子结点的分支线为0，度为1的结点分支线为1，度为2的分支线为2，故得出n-1= n1*1+n2*2，又有结点总数n = n0+n1+n2，所以综合一下就得到了n0=n2+1。
5. n个结点的完全二叉树的深度为不大于n的对数的最大值+1，主要是根据第2条特点延伸出来的；
6. 对一棵n个结点的完全二叉树，结点按层序编号，对任一结点i（1<=i<=n）,都有
   如果i=1，结点i就是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲是不大于i/2的结点，例如结点5，其双亲为5/2 =2,就是结点2；
   如果2i>n，则结点i无左孩子，结点i就是叶子结点，否则，其左孩子就是2i；
   如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则右孩子就是2i+1。

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【二叉树分类】

二叉树有5种形态：空二叉树，只有一个根结点，只有左子树，只有右子树，既有左子树又有右子树。

注意特殊二叉树，包括斜树，满二叉树，完全二叉树。斜树就是只有左子树或者只有右子树的情况；满二叉树就是所有的结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子都在一层上；完全二叉树就是按层序编号从1开始，与满二叉树的位置是一一对应，并且结点按序号依次排列没有空档，就是完全二叉树。
满二叉树

完全二叉树

【注意】二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

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【基本结构】
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树上的点，并且数组的下标能体现结点之间的逻辑关系。
二叉树的链表存储结构类似于利用单链表形式，但是不同的是结点结构除了数据域，还存储了指向左孩子和右孩子的指针，如下

struct BitTreeNode
{
    int data;
    struct BitTreeNode *left,*right;
}

在创建二叉树时，先确定好根结点后再依次添加左右结点。一般采用前序方法创建链表就是先根节点，左孩子，再右孩子，顺序创建，其他也可以，代码方面相应的做修改就好。

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【遍历分析】
二叉树操作中最重要的操作就是遍历，有三种，前序遍历，中序遍历，后序遍历。前提是树为空时，空操作返回，
前序遍历：先访问根节点，前序遍历左子树，前序遍历右子树；
中序遍历：中序遍历根节点的左子树，然后访问根节点，最后中序遍历根节点的右子树；
后序遍历：从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根节点。
举例如下：

前序遍历结果：ABDECF
中序遍历结果：DBEAFC
后序遍历结果：DEBFCA
【测试代码】

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef struct BinaryTreeNode
{
    char data;
    struct BinaryTreeNode *left;
    struct BinaryTreeNode *right;
}Node;
//按照前序输入二叉树中结点的值
//构建二叉树
void create(Node **T)
{
    char ch;
    scanf("%c",&ch);
    if(ch == '#')
        *T = NULL;
    else
    {
        *T = (Node *)malloc(sizeof(Node));
        (*T)->data = ch;
        create(&(*T)->left);
        create(&(*T)->right);
    }
}
//后序遍历
void post_order_visit(Node **T)
{
    if(*T == NULL)
        return ;
    else
    {
        post_order_visit(&(*T)->left);
        post_order_visit(&(*T)->right);
        printf("%c",(*T)->data);
    }

}
//中序遍历
void in_order_visit(Node **T)
{
    if((*T) == NULL)
        return;
    else
    {
        in_order_visit(&(*T)->left);
        printf("%c",(*T)->data);
        in_order_visit(&(*T)->right);
    }
}
//前序遍历
void pre_order_visit(Node **T)
{
    if((*T) == NULL)
        return;
    else
    {
        printf("%c",(*T)->data);
        pre_order_visit(&(*T)->left);
        pre_order_visit(&(*T)->right);
    }
}
void main()
{

    Node *root=NULL;    
    create(&root);
    printf("后序遍历：");
    post_order_visit(&root);
    printf("\n");
    printf("中序遍历：");
    in_order_visit(&root);
    printf("\n");
    printf("前序遍历：");
    pre_order_visit(&root);
    printf("\n");
}

【输出】

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【二叉树延伸】

对于一个二叉树遍历的问题，通常是已知一个二叉树的两种遍历结果，通过推导得到二叉树的另一种遍历结果，首先要牢牢掌握住前序遍历，中序遍历，后序遍历的方法思想，这样就不难了。
已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树；
已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
但是，已知前序和后序是不能确定一棵二叉树的，可能性太多。
就以上面测试用例中结果来详细分析一下过程：
前序：ABDECF, 中序：DBEAFC
前序是根->左->右，中序是左->根->右
从前序来看A必然是根节点，由中序看，那么A左边的必然是左子树，A右边的必然是右子树，分析左子树元素DBE，前序是BDE，综合中序和前序特点，B必然是DE的根，进而D,E分别为B的左孩子和右孩子，后序结果就是DEB,而FC是右子树，也是结合排序特点，得到F是C的左孩子，C为F的根，后序结果FC。综合根节点A，后序结果就是DEBFCA。