【算法】动态规划（矩阵连乘问题、最长公共子序列、0-1背包问题）

动态规划

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适用于用动态规划求解问题的时候，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。若用分治法解这类问题,则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要消耗指数时间。然而，不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复的计算，从而得到多项式时间算法。为了达到这个目的，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被利用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思想。具体的动态规划算法是多种多样的，但它们具有相同的填表格式。

动态规划算法适用于解最优化问题。通常可以按以下步骤设计动态规划算法：

1. 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
2. 递归地定义最优值
3. 以自底向上的方式计算出最优值
4. 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

矩阵连乘问题（最优计算次序问题）

什么是矩阵连乘?
当前一个矩阵的行数等于下一个矩阵的列数，就可以进行矩阵乘法运算，如果给定n个矩阵{A1,A2,……An}其中两两矩阵是可乘的，（23,34,4*5……）这就是矩阵连乘。

那我们每次都要按顺序乘吗？
由于乘法满足结合律，所以我们有多种选择。比如A1A2A3A4就有五种乘法
(A1(A2(A3A4)))
(A1((A2A3)A4))
((A1A2)(A3A4))
((A1(A2A3))A4)
(((A1A2)A3)A4)
那这些选择导致的结果一样吗？
结果是一样，但如果我们考虑到计算效率的问题（计算量），就值得深究了。
两个矩阵连乘的计算量：是前一个矩阵的行和列后一个矩阵的列
（32*3）

给出计算两个矩阵相乘的计算量的代码

 public static void MatrixMultiply(int [][]a,int [][]b,int [][]c,
                                      int ra,int ca,int rb,int cb)
    {
        if(ca != rb)  {    }
        for(int i = 0;i < ra; ++i)
        {
            for(int j = 0;j<cb; ++j)
            {
                int tmp = 0;
                for (int k = 0; k < ca; ++k)
                {
                    tmp += a[i][k] * b[k][j];
                }
                c[i][j] = tmp;
            }
        }
    }

比如 5100 1008 860这三个矩阵相乘；
1）（5100 1008）860
先计算前两个矩阵相乘，这样需要乘51008次，然后再和第三个矩阵乘 总共需要51008+5860=6400次
2）5100（1008860）
先计算后两个，需要乘100860次，然后在和第一个相乘，总共需要100860+5100*60=78000次
这样经过对比，很明显前者的计算次数少很多，效率更高，所以我们在计算矩阵连乘时，不能使用穷举搜索法一个个计算，而是要使用方法，否则offer便飞走了。

我们现在考虑用动态规划来解决？

第一步：分析最优解结构

假设i–j个矩阵
简记为A【i，j】 我们可以在Ak和Ak+1之间断开为 A【i，k】【 k+1，j】
按照此次序，先计算i–k，再计算k+1–j 然后再加上A【i，k】和A【 k+1，j】相乘的计算量就是总共的计算量了。这里的每个部分如果取到最优解，那么结果便是最优解。
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。

第二步：建立递归关系

我一直觉得动态规划和递归与分治策略思想分不开，可以说动态规划是递归与分治策略的升华。

而找到递归关系我们需要清楚什么时候从递归退出：
当i==j时，矩阵为单一矩阵，无需计算 计算量m【i】【j】=0
当i<j时，m【i】【j】=min{m【i】【k】+m【k+1】【j】+qqq}（k=i，i+1……j-1）

根据最优解结构可以知道qqq就是A【i，k】和A【 k+1，j】相乘的计算量了，那具体怎么算呢？
假如矩阵的维数给定
A1 A2 A3 A4
36 68 87 715
将维数入到数组里：p=【3,6，8,7，15】重复的不入
当k=2时，也就是从第二个划分开，则 A【1，2】和A【 3，4】相乘的计算量=3815 ，也就是**p[i-1]p[k]p[j]

所以最后的表达式为：

3、计算最优值

其实我们要做的就是把数学公式用代码表示出来。
可是如果我们只用递归算法计算，可以看到将耗费指数时间。在递